无限面体

无限面体（英语：Apeirohedron），是多面体的一种，意指有无限个面、无限条边和无限个顶点的多面体。一般是指所有的平面密铺的集合。

正无限面体

正方形镶嵌，是无限面体的一个例子
类别	多面体 平面镶嵌
对偶多面体	仍为无限面体 但可能有不同几何结构
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	三种正无限面体 （三角形镶嵌） （正方形镶嵌） （六边形镶嵌）
施莱夫利符号	{p,q} 其中(p-2)(q-2) = 4
性质
面	∞
边	∞
顶点	∞
欧拉特征数	F=∞, E=∞, V=∞ (χ=2)
二面角	180°
对称性
对称群	依其几何结构而定
特性
非严格凸、 球内接多面体、 等边多面体、 等角多面体、 平面
查 论 编

在欧几里得几何中，无限面体是一个退化多面体，其面数是可数集的数量，其边数与顶点数将符合V-E+F= 2，但只能利用求极限得出。无限面体跟多面体一样，有面、边、顶点、和角，角也包含有二面角，只是他们全部共面。无限面体并不是球，因为在多面体的定义中，面不能为曲面、边不能为曲线。

无限面体为无限边形在三维空间的类比，与平面镶嵌是等价的。无限面体可以密铺空间，如同无限边形密铺平面，两个无限面体面体即可堆砌填满整个空间，这种几何结构称为二阶无限面体堆砌。

一般对两种主要无限面体类型有研究：

• 平面密铺或镶嵌
• 扭歪无限面体。

正无限面体

主条目：正镶嵌图

正无限面体是正多面体的一种，是指每个面都全等、每条边都等长、每个角都等角的无限面体，就如同一般的正多面体。其二面角为180度，为一平角。

满足这些条件的几何图形只有平面镶嵌，在施莱夫利符号中用{p,q}表示，其中p、q满足等式(p-2)(q-2) = 4。

图像	三角形镶嵌	正方形镶嵌	六边形镶嵌
施莱夫利符号	{3,6}	{4,4}	{6,3}

正无限面体可以有外接球和内切球，但他们的半径必须是无限大。

无限胞体

主条目：无限胞体

无限胞体（英语：Apeirotope）意指有无限个面、无限个胞、无限条边和无限个顶点的多胞体。

其性质皆与无限面体相似，由空间密铺即空间堆砌组成。四维空间的正无限胞体只有一种，即立方体堆砌^[1]。

维度	三维 退化四维	四维 退化五维
图像	立方体堆砌	超立方体堆砌	十六胞体堆砌
施莱夫利符号	{4,3,4}	{4,3,3,4}	{3,3,4,3}

扭歪无限面体

一个扭歪无限面体的例子

主条目：扭歪无限面体

扭歪无限面体也是一种无限面体，其与一般无限面体差异在于扭歪无限面体并非所有顶点都共面，可以视为无限边形与扭歪无限边形之差异在三维空间的类比。

所有面都全等、角也相等的扭歪无限面体为正扭歪无限面体。三维空间的正扭歪无限面体有三种：

图像	四角六片四角孔扭歪无限面体	六角四片四角孔扭歪无限面体	六角六片三角孔扭歪无限面体
施莱夫利符号	{4,6|4}	{6,4|4}	{6,6|3}

双曲空间

此外，由于双曲镶嵌也是由无限多个双曲平面构成的图形，因此双曲镶嵌也可以做为一种无限面体^[2]。

图像	七阶三角形镶嵌	五阶正方形镶嵌	四阶五边形镶嵌	四阶六边形镶嵌	七边形镶嵌
施莱夫利符号	{3,7}	{4,5}	{5,4}	{6,4}	{7,3}

参见

• 无限边形
• 无限胞体

参考文献

1. Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. 引文格式1维护：冗余文本 (link) p.296, Table II: Regular honeycombs
2. Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
3. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
4. Critchlow, K.: Order in space.
5. Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.

1. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
2. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.