正规子群 - Wikiwand
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正规子群

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群论 群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群马蒂厄群 M11..12,M22..24康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24子怪兽群 B怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群一般线性群 GL(n)特殊线性群 SL(n)正交群 O(n)特殊正交群 SO(n)酉群 U(n)特殊酉群 SU(n)辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群庞加莱群 无限维群 共形群微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线线性代数群(英语:Linear algebraic group)阿贝尔簇(英语:Abelian variety) 查论编

在抽象代数中,正规子群不变子群指一类特殊的子群。由正规子群,可以引导出商群的概念。

埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。

定义

G子群N正规子群,如果它在共轭变换下不变;就是说对于每个N中元素n和每个G中的元素g,元素gng−1仍在N中。我们写为

下列条件等价于子群NG中是正规子群。其中任何一个都可以用作定义:

  1. NG 的元素诱导的共轭变换下不变,即对于G中的所有ggNg−1 =N
  2. NG 的元素诱导的共轭变换下的象集为自己的子集,即对于G中的所有ggNg−1N
  3. NG中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。
  4. 对于G中的所有ggN = Ng
  5. NG的若干共轭类并集
  6. G 中的任何两个元素,在相乘后是正规子群成员的关系下是可交换的,即
  7. 存在以NG群同态

注意条件(1)逻辑上弱于条件(2),条件(3)逻辑上弱于条件(4)。为此,条件(1)和条件(3)经常用来证明NG中是正规子群,而条件(2)和(4)用来证明NG中是正规子群的推论。

陪集和正规子群

给定一个群G,以及G的一个子群H,G的一个元素a,集合:

称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。

类似地,可以定义H关于a的右陪集:

可以证明:对于G中的两个元素a、b,。因此aH和bH只有两种关系:相等,或交集为空,即或者

于是群G可以被分解成:

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解:

进一步地,可以证明由所定义的关系是一个等价关系,集合中的每个等价关系都可确定一个等价类,因此每个是一个等价类。每个中含有的元素个数是相等的。

此外,群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的,叫做H对G的指数

对于一般的H,集合关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b,子集的积,但对于,不一定有。群G的正规子群或不变子群H使得关于子集的积是这个群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的,统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群,记作。商群的目数等于H对G的指数。

例子

  • {e}和G自身总是G的正规子群。如果G只有这两个正规子群,就叫做简单群
  • 群G的中心G的正规子群。
  • 群G的交换子群G的正规子群。
  • 一个阿贝尔群(或交换群)的所有子群都是它的正规子群,因为显然有gH = Hg。不是阿贝尔群,但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群(Hamiltonian group),阶数最小的例子是四元数单位对乘法构成的群
  • 任何有限维欧几里得空间中,平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中,先旋转,平移,再作原来旋转的逆,结果是原来的平移。先做镜面对称,平移,再作原来镜面对称的逆,还是原来的平移。将平移按长度分类,就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

性质

  • 满同态保持正规子群的性质,逆映射也是一样。
  • 直积保持正规子群的性质。
  • G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群,即是说正规子群没有传递性。但是,G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。
  • G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K,它对G的阶整除n!。特别地,当p是|G|的最小素因数时,G的所有p阶的子群都是正规子群。

参见

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正规子群
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