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归纳维数

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在数学的拓扑学中,归纳维数是对拓扑空间X定义的两种维数,分别为小归纳维数ind(X)与大归纳维数Ind(X)。在n维欧几里得空间Rn中,一个球的边界是有n - 1维的球面。以这个观察为基础,利用一个空间中适合的开集的边界维数,应当可以归纳定义出空间的维数。

这两种维数是只靠空间的拓扑来定义,无需用到空间的其他性质(比如度量)。拓扑空间的一般常用维数有三种,有大小归纳维数,以及勒贝格覆盖维数。通常说“拓扑维数”是指勒贝格覆盖维数。对于“足够好”的空间,这三种维数都相等。

正式定义

我们想定义一个点的维数是0,而点的边界是空的,因此首先定义

然后,归纳定义X的小归纳维数ind(X)为最小的整数n,使得对X中任何点x,及任何包含x开集U,都存在一个包含x的开集V,使得V闭包U的子集,V边界的小归纳维数小于或等于n - 1。

对于X的大归纳维数Ind(X)的定义,增加选取V的限制如下:Ind(X)为最小的整数n,使得对X中任何开集U,及U的任何子集F,都存在一个包含F的开集V,使得V的闭包是U的子集,V的边界的大归纳维数n - 1。

各维数的关系

设dim为勒贝格覆盖维数。对任何拓扑空间X,有

dim X = 0 当且仅当 Ind X = 0.

乌雷松定理指出,若X正规空间,及有可数基,则

dim X = Ind X = ind X.

这种空间正是可分可度量化空间。(参见乌雷松度量化定理。)

Nöbeling-Pontryagin定理指出有限维数的这种空间,其特征为同胚于欧几里得空间中的子空间,子空间用通常的拓扑。Menger-Nöbeling定理(1932)说若X是紧致及度量可分,且有维数n,则可以嵌入到2n + 1维欧几里得空间成为子空间。(Georg Nöbeling英语Georg NöbelingKarl Menger英语Karl Menger的学生。他引入了Nöbeling空间,是R2n + 1的一个子空间,由至少n + 1个座标是无理数的点所组成,这个空间有与n维空间嵌入相关的一些泛性质。)

若只假设X可度量化,则有(Miroslav Katětov英语Miroslav Katětov

ind X ≤ Ind X = dim X.

若只假设X紧致豪斯多夫空间,则有(P. S. Aleksandrov

dim X ≤ ind X ≤ Ind X.

以上的不等式都可能是严格的;Vladimir V. Filippov有个例子显示两种归纳维数可以不相等。

一个可分度量空间X的大归纳维数Ind Xn,当且仅当X中任何闭空间A及任何连续映射,都存在一个连续扩张

参看

  • Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 844-55.
  • R. Engelking, Theory of Dimensions. Finite and Infinite, Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.
  • V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
  • V. V. Filippov, On the inductive dimension of the product of bicompacta, Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
  • A. R. Pears, Dimension theory of general spaces, Cambridge University Press (1975).
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