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波包

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实线是波包,虚线是波包的包络。当波包传播于空间时,包络以群速度移动。
实线是波包,虚线是波包的包络。当波包传播于空间时,包络以群速度移动。

在任意时刻,波包wave packet)是局限在空间的某有限范围区域内的波动,在其他区域的部分非常微小,可以被忽略。波包整体随着时间流易移动于空间。波包可以分解为一组不同频率波数相位波幅正弦波,也可以从同样一组正弦波构成;在任意时刻,这些正弦波只会在空间的某有限范围区域相长干涉,在其它区域会相消干涉[1]:53-56[2]:312-313描绘波包轮廓的曲线称为包络线。依据不同的演化方程,在传播的时候,波包的包络线(描绘波包轮廓的曲线)可能会保持不变(没有色散),或者包络线会改变(有色散)。

量子力学中,波包可以用来代表粒子,表示粒子的概率波;也就是说,表现于位置空间,波包在某时间、位置的波幅平方,就是找到粒子在那时间、位置的概率密度;在任意区域内,波包所囊括面积的绝对值平方,就是找到粒子处于那区域的概率。粒子的波包越狭窄,则粒子位置的不确定性越小,而动量的不确定性越大;反之亦然。这位置的不确定性和动量的不确定性,两者之间无可避免的关系,是不确定性原理的一个标准案例。[1]:53-56

描述粒子的波包满足薛定谔方程,是薛定谔方程的数学解。通过含时薛定谔方程,可以预测粒子随着时间演化的量子行为。这与在经典力学里的哈密顿表述很类似。[3]:123

历史背景

早在十七世纪,艾萨克·牛顿就提出了光微粒说,即光是由很多离散的粒子所构成,其中每一个粒子都遵守牛顿运动定律。他的主要反对者罗伯特·胡克克里斯蒂安·惠更斯则主张光波动说:光是一种传播于介质中的波动。十九世纪,物理学者发现,在许多实验中,光表现出波动行为。其中一个特别着名的实验是双缝实验,这是英国物理学者托马斯·杨于1801年完成的实验。从这实验观察到的干涉图样给予光微粒说严重打击,因为光微粒说无法说明这现象,而光波动说可以。很多物理学者因此改变立场,采纳了光波动说。

在20世纪初,科学家发现经典力学存在着很多严峻问题,越来越多实验结果无法用经典理论来解释。到了1930年代,物理学者开始采纳波粒二象性,即物质具有波动性与粒子性。在这段时期,量子力学如火如荼的发展造成了理论方面的重大突破。许多困惑物理学者多年的实验结果,都能够得到圆满合理的解释。例如,1905年,阿尔伯特·爱因斯坦光电效应的理论解析。按照爱因斯坦的理论解析,光的能量并非均匀分布,而是负载于离散的量子包,现称为光子。每个光子的能量频率之间的关系为

其中,普朗克常数

在光电效应里,光子的频率必须超过被冲击金属的特征极限频率(对应于金属的逸出功),才能使金属表面的电子获得足够能量逃逸出来,否则,不论辐照率有多高,都无法使得电子从金属表面逃逸出来。

二十世纪,量子力学持续地蓬勃发展。它所展现的绘景是一种粒子世界。在这粒子世界里,每一种物质都是由粒子形成,每一种现象都是由粒子彼此互相作用而产生;可是,这些粒子的量子行为都是用概率波来描述。所有的量子行为都被约化为这些概率波的演化。至今,量子世界的粒子性已被许多实验证实,波动现象可以被诠释为粒子的波包秉性的特征后果。

范例

非色散传播

一个正在传播中,非色散的波包。
一个正在传播中,非色散的波包。

举一个非色散传播范例,思考波动方程

其中,是波动函数,是时间,是波动在某介质里的传播速度。

采用物理时间常规,波动方程的平面波解是

其中,是位置矢量,波数矢量,角频率

为了满足平面波为波动方程的解,角频率和波数的色散关系

为了便于计算,只考虑波传播于一维空间,则波动方程的一般解是

其中,方程右边的第一项表示往正方向传播的波动,第二项表示往负方向传播的波动。

波包是在局部区域里一组波的叠加。假若,波包是强劲存在于局部区域,则需要更多的频率来达成局部区域内的相长叠加,与局部区域外的相消叠加。这样,从基本平面波解,一般的波包可以表示为

其中,因子是由傅里叶变换的常规而设定,振幅是线形叠加的系数函数。

逆反过来,系数函数可以表达为

其中,是波包在初始时间的函数形式。

所以,知道波包在时间的函数形式,应用傅里叶变换,可以计算出波包在任何时间的函数形式

例如,选择初始时间的函数形式为

经过一番运算,可以得到

这个波包的实值部分或虚值部分的非散色传播展示于前面动画。

色散传播

再举一个有色散传播例子,思考薛定谔方程,

其色散关系为

只考虑一维问题。经过一番运算,满足初始条件的解是

观察这波包的色散行为。取的绝对值,

这色散波包传播的群速度是常数。波包的宽度跟时间有关,根据公式随着时间增加。

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Joy Manners. Quantum Physics: An Introduction. CRC Press. 2000. ISBN 978-0-7503-0720-8. 
  2. ^ Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语) 
  3. ^ Toda, Mikito. Geometric structures of phase space in multidimensional chaos.... Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons inc. 2005. ISBN 0-471-70527-6. 
  • J. D. Jackson (1975). Classical Electrodynamics (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X.
  • Leonard I. Schiff (1968). Quantum mechanics (3rd ed.). London : McGraw-Hill.
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