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测度

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通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。
通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。

测度(英语:Measure)在数学分析里是指一个函数,它对一个给定集合的某些子集指定一个数。感官上,测度的概念相当于长度、面积、体积等。一个特别重要的例子是欧氏空间上的勒贝格测度,它把欧氏几何上传统的诸如长度、面积和体积等概念赋予 n 维欧式空间 Rn 。例如,实数区间 [0, 1] 上的勒贝格测度就是它显而易见的长度,即 1。

传统的积分是在区间上进行的,后来人们希望把积分推广到任意的集合上,就发展出测度的概念,它在数学分析概率论有重要的地位。

测度论实分析的一个分支,研究对象有σ代数、测度、可测函数积分,其重要性在概率论统计学中都有所体现。

定义

是个集合,定义在 上的另一集合 中的元素是 的子集合,而且是一个σ-代数,测度 (详细的说法是可数可加的正测度)是个定义在 上的函数,于中取值,且满足以下性质:

  • 非负性质:对所有的 ,有
  • 空集合的测度为零
  • 可数可加性,或称 -可加性:若 中可数个两两不相交元素的集合,换句话讲,对所有 ,则可得

这样的三元组称为一个测度空间,而 中的元素称为这个空间中的可测集合

性质

下面的一些性质可从测度的定义导出:

单调性

测度单调性: 若为可测集,而且,则

可数个可测集的并集的测度

为可测集(不必是两两不交的),则集合的并集是可测的,且有如下不等式(“次可列可加性”):

如果还满足并且对于所有的,则如下极限式成立:

可数个可测集的交集的测度

为可测集,并且对于所有的,则交集是可测的。进一步说,如果至少一个的测度有限,则有极限:

如若不假设至少一个的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个,令

这里,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。

σ-有限测度

如果是一个有限实数(而不是),则测度空间称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似,因为可以通过乘上比例因子进行归一化。如果可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,则该测度空间称为-有限测度空间。如果测度空间中的一个集合可以表示为可数个可测集的并集,而且这些可测集的测度均有限,就称具有-有限测度

作为例子,实数集赋以标准勒贝格测度-有限的,但不是有限的。为说明之,只要考虑闭区间[k, k+1],k取遍所有的整数;这样的区间共有可数多个,每一个的测度为1,而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子,取实数集上的计数测度,即对实数集的每个有限子集,都把元素个数作为它的测度,至于无限子集的测度则令为。这样的测度空间就不是-有限的,因为任何有限测度集只含有有限个点,从而,覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。-有限的测度空间有些很好的性质;从这点上说,-有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

完备性

对于一个可测集,若成立,则称为零测集,其子集称为可去集

一个可去集未必是可测的,但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:

考虑的所有与某个可测集仅差一个可去集的子集,可得到对称差包含于一个零测集中。

由这些子集生成的σ代数,并定义,所得到的测度即为完备测度。

例子

下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。

  • 计数测度 定义为的“元素个数”。
  • 一维勒贝格测度是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。
  • Circular angle测度是旋转不变的。
  • 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。
  • 恒零测度定义为,对任意的
  • 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理

其它例子,包括:狄拉克测度、波莱尔测度若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度

相关条目

参考文献

  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接

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