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混叠

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混叠(英语:Aliasing),在信号频谱上可称作叠频;在影像上可称作叠影,主要来自于对连续时间信号作取样数字化时,取样频率低于两倍奈奎斯特频率

统计信号处理和相关领域中,混叠是指取样信号被还原成连续信号时产生彼此交叠而失真的现象。当混叠发生时,原始信号无法从取样信号还原。而混叠可能发生在时域上,称做时间混叠,或是发生在频域上,被称作空间混叠。

在视觉影像的模拟数字转换或音乐信号领域,混叠都是相当重要的议题。因为在做模拟-数字转换时若取样频率选取不当将造成高频信号和低频信号混叠在一起,因此无法完美地重建出原始的信号。为了避免此情形发生,取样前必须先做滤波的操作。

概要

时间周期上的混叠

举例来说:太阳在天空由东往西移动,两次的日出间隔了24小时。若某个人每23小时对天空拍张照片,太阳会好似由西向东移动,并且日出周期由24小时转变成552小时(24×23=552)。相同的现象也会发生在高速旋转的车轮钢圈,视觉上看到的旋转方向和实际上相反。这就是时间混叠。

两个不同的正弦波却有相同的样本值。蓝色正弦波的频率
  
    
      
        F
        b
        
      
    
    {\displaystyle Fb\,}
  
较低;红色正弦波的频率
  
    
      
        F
        r
        
      
    
    {\displaystyle Fr\,}
  
较高。
两个不同的正弦波却有相同的样本值。蓝色正弦波的频率较低;红色正弦波的频率较高。

混叠是一个音频视频上的最大问题。例如在音乐上信号中会含有超出人耳听力范围的高频成分,如果音乐信号取样低于32000取样/秒(赫兹)任何等于16000赫兹或以上的信号(奈奎斯特准则)将在数字转模拟转换器(DAC)中造成混叠现象。为了防止这样的混叠现象发生,抗混叠滤波器可以用来移除高于奈圭斯特频率以上的混叠噪声,或是要求音频内容的取样保持在两倍人耳最高频率极限之上。因此,可以参照取样率中不同的运用有着不同的取样率,除人声传输的应用之外,在记录音乐、声音的应用中大多都是采用高于40kHz的取样频率以确保能够完整还原。

视频中时间混叠的造成是来自于帧率的限制,进而造成车轮看起来倒转但实际上正转的车轮效应(wagon-wheel effect),在这个现象中逆转的现象可以以负频率解释。为了解决视频中时间混叠的现象,可以使用抗混叠滤波器来减少,或者是要求视频内容的帧率保持在两倍视觉暂留频率之上。

空间周期上的混叠

在浏览照片时,档案中的图像会被显示器或打印机等设备重建。在这个过程中,影像资料处理若涉及到重新取样及重建,混叠的现象就会发生。

右图即为图像在低清晰度的还原下产生的莫列波纹范例。这种混叠可能是在取样或是重建的阶段发生,为了减少这些混叠的现象产生,抗混叠滤波器可以用于减低混叠在取样时的影响程度。进而改善还原时混叠出现的失真噪声。[1]

奈奎斯特准则

以不产生交叠现象的状况下,所定的取样频率如上图所示。若取样的频率太低,就会产生取样的结果和原来的样本不同的状况。若一样本的频谱是带限频谱,也就是在某一频率ǀWnǀ之外都为0的频谱;那么取样频率Ws就必须要大于两倍的Wn才不至于使频谱产生交叠,而在此产生失真的现象。

数学式即奈奎斯特准则

音频的例子

在音频的案例中我们可以比较电话(取样8kHz)与CD(取样44.1kHz)的差别。显而易见电话中我们只能听到较为低频的声音,而高频的部分无法完整重现,而在CD中我们可以听见弦乐、敲击乐器等较为高频的声音。目前的技术标准中已有许多订定取样率为192kHz,如蓝光光碟中的音频、以及SACD。虽然高取样率会造成档案大小庞大,但能更完整的还原音频。

数学上的解释

X(f)(上图蓝色部分)及XA(f)(下图蓝色部分)是二个不同函数x(t)及xA(t)(原函数省略不列出)的连续傅立叶转换。当二个函数以fs的频率取样时,且确认信号的离散傅立叶转换(DTFT)时,其虚部(绿色部分)会和转换后信号(蓝色部分)叠加。在这个假设的例子中,这两个函数的离散傅立叶转换相同,表示取样到的信号也完全相同,可是在取样前的原函数是不同的。若这是声音频号,x(t)和xA(t)听起来是不一样的,可是其以fs的频率取样是一样的,因此最后重制的声音是相同的,因此我们可以说xA(t)是
  
    
      
        x
        (
        T
        )
      
    
    {\displaystyle x(T)}
  
在此取样频率下的混叠(alias)
X(f)(上图蓝色部分)及XA(f)(下图蓝色部分)是二个不同函数x(t)及xA(t)(原函数省略不列出)的连续傅立叶转换。当二个函数以fs的频率取样时,且确认信号的离散傅立叶转换(DTFT)时,其虚部(绿色部分)会和转换后信号(蓝色部分)叠加。在这个假设的例子中,这两个函数的离散傅立叶转换相同,表示取样到的信号也完全相同,可是在取样前的原函数是不同的。若这是声音频号,x(t)和xA(t)听起来是不一样的,可是其以fs的频率取样是一样的,因此最后重制的声音是相同的,因此我们可以说xA(t)是在此取样频率下的混叠(alias)

为一函数(如图所示),其傅立叶转换为:

经由周期T的取样后蒲松求和公式指出的取样已以产生周期和英语periodic summation,结果为:


是一个周期函数,等效为傅立叶级数,系数为。此数列也称作x的离散傅立叶转换 (DTFT),在此n为整数,代表第n个时刻。

如图所示, 的影子(绿色部分)被平移了 fs 的倍数,并相加合并。如果奈奎斯特准则没有被满足,相邻部分就会重叠,一般就不能完整还原出 。任何超过 fs/2 的频率分量都会与较低的频率分量难以区分,这就称作“混叠”。在这种情况下,通常的插值法就会产生混叠,而不是原始的分量了。

更好的取样方式(滤波)

Xs(f)是经由抗混叠滤波器得到的信号,其频谱(蓝色)和其相邻的DTFT影子(绿色)不会重叠。抗混叠滤波器
  
    
      
        H
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle H(f)}
  
可以移除这些影子,留下原始的频谱
  
    
      
        X
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle X(f)}
  
,如此一来,由取样后的信号还原为时会得到经由抗混叠滤波器滤波后的原始信号
Xs(f)是经由抗混叠滤波器得到的信号,其频谱(蓝色)和其相邻的DTFT影子(绿色)不会重叠。抗混叠滤波器可以移除这些影子,留下原始的频谱,如此一来,由取样后的信号还原为时会得到经由抗混叠滤波器滤波后的原始信号

考虑成本以及符合特定规范下(例如电话使用8kHz取样频率),通常要先以低通滤波器将高频的分量减少到可以接受的大小,而低通滤波器在此也称作抗混叠滤波器抗混叠滤波器可以使信号满足采样定理的条件。这个方法在理论上是可行的,但是在实际情况中难以完美实现。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号,必然会留下一些残余的能量,而且低通滤波器同时也会对部分采样定理条件以下的信号产生些微影响。


参考文献

采样定理 取样率

  1. ^ Mitchell, Don P.; Netravali, Arun N. Reconstruction filters in computer-graphics (PDF). ACM SIGGRAPH International Conference on Computer Graphics and Interactive Techniques: 221–228. August 1988. ISBN 0-89791-275-6. doi:10.1145/54852.378514. 
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