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渗流理论

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渗流理论(英语:Percolation theory)是数学和统计物理领域中研究随机图上簇的性质的一套理论。举例来说,假设有一多孔材料,求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题:建立一有n × n × n顶点的三维网格模型,相邻顶点p的概率是连接的,或者说有(1-p)的概率是不连接的,每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是,当n很大以至于体系可以近似为无限网格时,求问至少存在一条贯穿整个网格的路径(称为渗流)对应的p的范围。这一p的下界,pc,称为渗流阈值英语Perolation_threshold。该问题由布罗德本特和汉默斯利于1957年提出,[1]其后相关问题被广泛研究。

上述问题称为边渗流键渗流(英语:Bond percolation),是渗流理论两种主要的渗流形式之一。另外一种是点渗流(英语:Site percolation),与边渗流不同的是,每个顶点p的概率是“占有”的;相应有(1-p)的概率是“空缺”的,如果相邻两个顶点皆属于占有则它们之间是连接的。而问题相同:求给定p值时,整个图是否渗流。

渗流阈值

根据零一律,一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0,要么为1,处于这一转折的临界概率称为渗流阈值,记作pc。少数简单模型的渗流阈值有精确的解析解。例如,一维点阵的边渗流和点渗流阈值均为pc=1,这个解是平凡的;[2]二维方格的渗流阈值曽困扰物理学界20年,直到1980年代由哈里·凯斯滕英语Harry_Kesten给出完整证明,其边渗流阈值是1/2(参见Kesten(1982))。[3]另一种已知精确解的特殊情况是贝特晶格英语Bethe_lattice(该模型的每一个顶点z个近邻顶点,如此延伸,没有回路),

以下给出d维简单立方模型的渗流阈值数据:

d 配位数z 点渗流 边渗流
2 4 0.59274601(2)[4] 1/2
3 6 0.3116077(4)[5] 0.2488126(5)[6]
4 8 0.1968861(14),[7]0.19688561(3)[8] 0.1601314(13),[7] 0.16013122(6)[8]
5 10 0.1407966(15),[7] 0.14079633(4)[8] 0.118172(1),[7] 0.11817145(3)[8]
6 12 0.109017(2),[7] 0.109016661(8)[8] 0.0942019(6),[7] 0.09420165(2)[8]
7 14 0.0889511(9), [7] 0.088951121(1),[8] 0.0786752(3),[7] 0.078675230(2)[8]
8 16 0.0752101(5),[7] 0.075210128(1)[8] 0.06770839(7),[7] 0.0677084181(3)[8]
9 18 0.0652095(3),[7] 0.0652095348(6)[8] 0.05949601(5),[7] 0.0594960034(1)[8]
10 20 0.0575930(1),[7] 0.0575929488(4)[8] 0.05309258(4),[7] 0.0530925842(2)[8]
11 22 0.05158971(8),[7] 0.0515896843(2)[8] 0.04794969(1),[7] 0.04794968373(8)[8]
12 24 0.04673099(6),[7] 0.0467309755(1)[8] 0.04372386(1),[7] 0.04372385825(10)[8]
13 26 0.04271508(8),[7] 0.04271507960(10)[8] 0.04018762(1),[7] 0.04018761703(6)[8]

实际计算中,当网格边长n较大时,比如n=100,一个体系是否渗流的概率在pc附近的变化已经非常尖锐。

渗流临界指数

模型在渗流阈值附近的行为可视作一种相变,因为有些表征性质的物理量是发散的,比如簇的期望大小。标度理论认为模型在渗流阈值的性质可以用一系列临界指数描述。例如,相互连接的点(点渗流)或边(边渗流)构成一个簇。当时,簇大小的分布趋于,其中为簇的大小,为该大小的簇出现的概率,费舍尔指数Fischer exponent)。

又如,两个距离为的点属于同一个簇的概率呈指数衰减,其中反常维度Anomalous dimension)。

在渗流阈值时,无限的簇可视作一分形。以该无限的簇上的一点为中心,长度为半径范围内属于该簇点的个数(簇的质量)满足称为分形维度Fractal dimension)。以上三个指数满足

渗流临界指数及关系也是渗流理论研究的重要内容。

相关

参考资料

  1. ^ Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953, 53 (03): 629. Bibcode:1957PCPS...53..629B. ISSN 0305-0041. doi:10.1017/S0305004100032680. 
  2. ^ Dietrich Stauffer; Ammon Aharony. Introduction to percolation theory revised second edition. CRC press. 2014. ISBN 0748400273. 
  3. ^ Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 2006, 29 (4): 524–548. ISSN 1042-9832. arXiv:math/0412510. doi:10.1002/rsa.20134. 
  4. ^ Jacobsen, J. L. High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials. J. Phys. A: Math. Theor. 2014, 47 (13): 135001. Bibcode:2014JPhA...47m5001G. arXiv:1401.7847. doi:10.1088/1751-8113/47/13/135001. 
  5. ^ Deng, Youjin; H. W. J. Blöte. Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions. Physical Review E. 2005, 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. doi:10.1103/PhysRevE.72.016126. 
  6. ^ Lorenz, C. D.; R. M. Ziff. Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices. Physical Review E. 1998, 57: 230–236. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. arXiv:cond-mat/9710044. doi:10.1103/PhysRevE.57.230. 
  7. ^ 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 Grassberger, Peter. Critical percolation in high dimensions. Physical Review E. 2003, 67 (3): 4. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G. arXiv:cond-mat/0202144. doi:10.1103/PhysRevE.67.036101. 
  8. ^ 8.00 8.01 8.02 8.03 8.04 8.05 8.06 8.07 8.08 8.09 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 Mertens, Stephan; Christopher Moore. Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices. 2018. arXiv:1806.08067 [cond-mat.stat-mech]. 
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