群论中,汉娜·诺伊曼猜想是关于一个自由群的两个有限生成子群的交的,1957年由汉娜·诺伊曼提出。[1]2011年伊戈尔·米涅耶夫(Igor Mineyev)[2]和乔尔·弗里德曼(Joel Friedman)[3]各自证明了这个猜想。

猜想叙述

H, KF(X)是自由群F(X)的两个非平凡有限生成子群, L = HK为其交,这个猜想指

rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1).

其中对G,rank(G)为其,即G生成集合的最小大小。按尼尔森-施赖埃尔(Nielsen-Schreier)定理,自由群的子群也都是自由群,而自由群的秩等于任一个自由基底的大小。

历史

这个猜想的灵感来自Howson在1954年的一条定理。[4]他证明了一个自由群的任何两个有限生成子群的交都是有限生成的,即是有有限秩。他并证明了若HK是自由群F(X)有限生成子群,其秩分别为n ≥ 1及m ≥ 1,那么HK的秩s适合

s − 1 ≤ 2mnmn.

汉娜·诺伊曼在一篇1956年的论文中,[5]改进了上限

s − 1 ≤ 2mn2mn.

诺伊曼在1957年的附录中,[1]把上限改进到

s − 1 ≤ 2(m − 1)(n − 1).

她又猜想上式右边去掉因数2也成立,这就是以其命名的猜想。

参考

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.