汉娜·诺伊曼猜想

群论中，汉娜·诺伊曼猜想是关于一个自由群的两个有限生成子群的交的秩，1957年由汉娜·诺伊曼提出。^[1]2011年伊戈尔·米涅耶夫（Igor Mineyev）^[2]和乔尔·弗里德曼（Joel Friedman）^[3]各自证明了这个猜想。

猜想叙述

设H, K ≤ F(X)是自由群F(X)的两个非平凡有限生成子群， L = H ∩ K为其交，这个猜想指

rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1).

其中对群G，rank(G)为其秩，即G的生成集合的最小大小。按尼尔森－施赖埃尔（Nielsen-Schreier）定理，自由群的子群也都是自由群，而自由群的秩等于任一个自由基底的大小。

历史

这个猜想的灵感来自Howson在1954年的一条定理。^[4]他证明了一个自由群的任何两个有限生成子群的交都是有限生成的，即是有有限秩。他并证明了若H和K是自由群F(X)有限生成子群，其秩分别为n ≥ 1及m ≥ 1，那么H ∩ K的秩s适合

s − 1 ≤ 2mn − m − n.

汉娜·诺伊曼在一篇1956年的论文中，^[5]改进了上限

s − 1 ≤ 2mn − 2m − n.

诺伊曼在1957年的附录中，^[1]把上限改进到

s − 1 ≤ 2(m − 1)(n − 1).

她又猜想上式右边去掉因数2也成立，这就是以其命名的猜想。

参考

1. Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Addendum. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), p. 128
2. Igor Minevev, "Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture." （页面存档备份，存于互联网档案馆） Ann. of Math., 175 (2012), no. 1, 393-414
3. Joel Friedman, "Sheaves on Graphs, Their Homological Invariants, and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture." （页面存档备份，存于互联网档案馆） to appear in Memoirs of the AMS
4. A. G. Howson. On the intersection of finitely generated free groups. Journal of the London Mathematical Society, vol. 29 (1954), pp. 428–434
5. Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.