潘洛斯图形符号

数学与物理学中，潘洛斯图形符号（英语：Penrose graphical notation）或称张量图符号（tensor diagram notation）是多线性函数或张量的一种图形表示法，由罗杰·潘洛斯所提出。^[1]

这样的图有多种几何图案，之间由线段相连。Predrag Cvitanović曾深入研究此方法，将之用在古典李群的分类上。^[2]

透过表示论，此方法也被推广至物理学中的自旋网络，以及线性代数中矩阵群相关的迹数图（英语：trace diagram）。

诠释

多线性代数

在多重线性代数的语言中，这每一个图形都代表一个多线性函数。接在图形上的线代表了函数的输入与输出，而把图形连结起来就相当于函数的复合。

张量

在张量代数的语言中，每个特定的张量都由一个特定的图形表示，而往上下延伸的线段则分别对应张量的上下指标。把两个图形以线段连结则对应于张量缩并（英语：Tensor contraction）。

这种标记方式的一大优点就是不需要为了新的指标而发明更多新的符号，并且这种方式还是完全无关于基底的。^[3]

矩阵

每个图形代表一个矩阵，张量积是直著做的，而矩阵乘法是横著做的。

特殊张量表象

度规张量

度规张量由U形或倒U形的循环所表示，正U或倒U由张量类型决定。

度规张量${\displaystyle g^{ab}\,}$

度规张量${\displaystyle g_{ab}\,}$

列维-奇维塔张量

列维-奇维塔反对称张量由粗的水平横杆来表示，其上有朝上或朝下的小棍，由张量类型所决定。

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \epsilon ^{ab\ldots n}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ab\ldots n}\,\epsilon ^{ab\ldots n}}$${\displaystyle =n!}$

结构常数

李代数的结构常数（${\displaystyle {\gamma _{ab}}^{c}}$）由一带有一条朝上线、两条朝下线的小三角形所表示。

结构常数${\displaystyle {\gamma _{\alpha \beta }}^{\chi }=-{\gamma _{\beta \alpha }}^{\chi }}$

张量运算

指标缩并

指标进行张量缩并（英语：Tensor contraction）可由指标线相连来表示。

克罗内克δ函数 ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$

点积 ${\displaystyle \beta _{a}\,\xi ^{a}}$

${\displaystyle g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}}$

对称化

指标的对称化由水平穿越指标线的粗锯齿状横杆来表示。

对称化 ${\displaystyle Q^{(ab\ldots n)}}$ （其中${\displaystyle {}_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}$）

反对称化

指标的反对称化是由水平穿越指标线的粗直线来表示。

反对称化 ${\displaystyle E_{[ab\ldots n]}}$ （其中${\displaystyle {}_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}}$）

行列式

行列式透过指标的反对称化而形成。

行列式${\displaystyle \det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)}$

逆矩阵${\displaystyle \mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}}$

协变导数

协变导数（${\displaystyle \nabla }$）是由一围绕待运算之张量的圆圈所表示，另有一条朝下的线连接圆圈表示导数的下标。

协变导数${\displaystyle 12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)}$ ${\displaystyle =12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)}$

张量操作

图形符号法在张量代数的操作中颇有用处。这些操作通常牵涉到一些与张量有关的恒等式。

举例来说，一个常见的恒等式：

${\displaystyle \varepsilon _{a...c}\epsilon ^{a...c}=n!}$，

其中n是维度。

黎曼曲率张量

使用黎曼曲率张量所描述的里奇恒等式与比安基恒等式，可展示出潘洛斯图形符号的威力。

黎曼曲率张量的符号

里奇张量 ${\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}}$

里奇恒等式${\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}}$${\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}}$

比安基恒等式${\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}$

扩充

此符号标记法已扩充到旋量与扭量的使用。^[4][5]

相关条目

• 抽象指标记号
• 里奇微积分（英语：Ricci calculus）
• 自旋网络
• 角动量图

参考文献

1. see e.g. Quantum invariants of knots and 3-manifolds" by V. G. Turaev (1994), page 71
2. Predrag Cvitanović. Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press. 2008 [2015-05-23]. （原始内容存档于2011-07-20）.
3. Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, ISBN 0-09-944068-7, Chapter Manifolds of n dimensions.
4. Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. 1984: 424–434 [2015-05-23]. ISBN 0-521-24527-3. （原始内容存档于2014-01-03）.
5. Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. 1986 [2015-05-23]. ISBN 0-521-25267-9. （原始内容存档于2014-01-03）.

外部链接