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几何学拓扑学以及数学的相关分支中,一个空间中的用于描述给定空间中一种特别的对象,在空间中有类似于体积、面积、长度或其他高维类似物。一个点是一个零维度对象。点作为最简单的几何概念,通常作为几何物理矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分。

数学的点-历史

亚里斯多德的著作《论天体》第三册中,已经提到数学中的点是没有大小的[1][2],他依此来驳斥柏拉图将数学的几何形视为物理实体的构成要素[3](参见正多面体),并强调这与数学思想相违背[4]:“数学的平面没有厚度,所以不能构造物理实体。”他论述说,如果数学平面有厚度,那么数学的线就要有宽度才能够构成平面,而数学的点必须有大小才能构成线,但是在数学中已经明确定义数学的点是没有大小的,因此柏拉图的理论与数学相抵触。从这里,亚里斯多德陈述说,一个几何对象只能分割成相同类型的几何对象(而不会变成其它的东西):平面只能分割成平面,而不能分割成线;线只能分割成线,不能分割成点;这样的分割可以无限的进行,而不是像原子论者所说的,最后分割到原子(或是基本构成要素)就停止了。

因此,早在欧几里得的《几何原本》之前,数学中的点只用来标示位置的用法已经是共识。亚里斯多德提到点的时候,用的字是 στιγμὰς,是可见的点(spot),而欧几里得则(小心翼翼的)采用另一个字 σημεῖόν,原意是“标示”(sign):

σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[5]

这句话的意思是:“点是没有部分(μέρος)的东西”。点没有部分,所以也就没有大小[6]。这个论点来源自亚里斯多德的“部分-整体”理论(part–whole theory):

"the parts are causes of the whole"[7](整体是由部分所构成的。)

几何原本》的阿拉伯文版,将 σημεῖόν 翻译为 نقطة[8],意思回到亚里斯多德的可见点[9];拉丁文版则将 σημεῖόν 翻译为 punctum[10],意思是被尖物刺成的小洞。

欧几里得几何中的点

二维欧式空间中的有限点集(蓝色).
二维欧式空间中的有限点集(蓝色).

欧几里得几何中,是空间中只有位置,没有大小的图形。点是整个欧几里得几何学的基础,后者是研究点,线的一种科学。欧几里得最初含糊的定义点作为"没有部分的东西". 在二维欧式空间, 一个点被表示为一个有序对, 其中第一个数字习惯上表示水平位置,通常记为 , 第二个数字习惯上表示竖直位置, 通常记为 . 这一思想很容易广到三维情况, 此时一个点被表示为一个有序三元组, , 第三个数字表示高度, 通常记为 z。更加一般的情况下,点被表示为一个有序 n 元组: 其中 n 为点所在的空间的维度.


在现代数学语言中,任何集合的元素都叫作“点”,但与三维空间中的点可以没有任何关系。

其他数学分支中的点

点集拓扑中的点, 定义为一个拓扑空间中的集合的元素.

尽管点被看做是主要的几何学和拓扑学中的基本概念, 但是有些几何和拓扑理论并不需要点的概念. 例如非交换几何和非点集拓扑. 一个"非点空间"不是作为一个集合来定义的, 而是通过某种类似于几何上的函数空间的结构(代数上的或者逻辑上的): 连续函数代数或者集合代数.

算术中的点

1点(Basis Point)的定义为“百分之零点零一”(0.01%)或“一个百分点的一百分之一”,可用算术符号‱表示。它在计算利率、汇率、股票价格等范畴被广泛应用,因为这些范畴须要牵涉极微小百分数的计算。简单来说: 一百点=百分之一(100‱ = 1%) 一万点=百分之一百=一(10000‱ = 100% = 1) 在比较百分数时,除了可以用百分点之外,两个百分数之间细微的差距也可用点子来表达。例如4.02%与4.05%相差0.03个百分点。

参考资料

交互

http://www.khanacademy.org/cs/program/1342753278

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