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焦点 (几何)

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F点是红色的椭圆、绿色的抛物线及蓝色的双曲线的焦点
F点是红色的椭圆、绿色的抛物线及蓝色的双曲线的焦点

几何学上,焦点是指建构曲线中的一些特殊点。例如用一个或二个焦点可以定义圆锥曲线,分别为(一个焦点)、椭圆(二个焦点)、抛物线(一个焦点和一条线)及双曲线(二个焦点),此外,有二个焦点可以定义卡西尼卵形线Cartesian卵形线英语Cartesian oval,二个以上的焦点可以定义n-ellipse英语n-ellipse

圆锥曲线

用二个焦点定义圆锥曲线

椭圆可以定义为平面上到两个固定点(焦点)的距离之和为常数的点之轨迹

圆是一种特殊的椭圆,其二个焦点重合,只剩一个焦点。因此圆可以定义为平面上到一个固定点的距离为常数的点之轨迹。圆也可以用阿波罗尼斯圆英语Circles of Apollonius的方式定义,定义成和二个焦点距离有固定比例的点之轨迹,会出现二个不同的轨迹。

抛物线是一种特殊的椭圆,其中一个焦点在无穷远处

双曲线也可以用二个焦点来定义,是两个焦点的距离差(的绝对值)是常数的点的轨迹。

用焦点和准线定义圆锥曲线

也可以用一个焦点和一条准线(directrix)定义圆锥曲线,准线是不通过焦点的直线。圆锥曲线是距焦点距离和距准线距离比例为一定值的线,此定值即为偏心率e。若e在0到1之间,此圆锥曲线为椭圆,若e=1,此圆锥曲线为抛物线,若e大于1,此圆锥曲线为双曲线。若到焦点的距离固定,准线为无穷远线,偏心率为零,此圆锥曲线就是圆。

天文学的重要性

重力场的二体问题中,二个物体相对于彼此的轨道可以用二个重叠的圆锥曲线表示,二个圆锥曲线的都会有焦点落在二个物体的共同质量中心质心)。

例如,微型行星冥王星的最大卫星冥卫一其轨道为椭圆,其中一个焦点在冥王星-冥卫一双星系统的质心上,而冥王星的的轨道为椭圆,其中一个焦点也是在双星系统的质心上,如动画,中所述。

而地球的卫星月球轨道的椭圆,也有一个焦点在地球-月球双星系统的质心上,但此质心在地球内部,而地球(或说是地球的质心)也绕着椭圆轨道运转,而一个焦点也在地球-月球双星系统的质心上。

而冥王星-冥卫一系统也在另一个椭圆轨道上运行,此椭圆的一个焦点是冥王星、冥卫一和太阳的质心,而地球-月球系统也是在另一个类似的椭圆轨道上运行。这些质心都在太阳的内部。

二颗联星也会绕着其共同质心,在椭圆轨道上运行。

参考资料

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