特征值和特征向量
矩陣的性質 / 维基百科,自由的 encyclopedia
在数学上,特别是线性代数中,对于一个给定的方阵,它的特征向量(eigenvector,也译固有向量、本征向量) 经过这个线性变换[a]之后,得到的新向量仍然与原来的 保持在同一条直线上,但其长度或方向也许会改变。即, 为标量,即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例,称 为其特征值(eigenvalue,也译固有值、本征值)。如果特征值为正,则表示 在经过线性变换的作用后方向也不变;如果特征值为负,说明方向会反转;如果特征值为0,则是表示缩回零点。但无论怎样,仍在同一条直线上。图1给出了一个以油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下(如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换),一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述,也就是说:所有的特征向量组成了这向量空间的一组基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合,可以证明该集合是一个线性子空间,比如 即为线性变换 中以 为特征值的特征空间。
线性代数 | ||||||
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这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外,甚至在一些非线性的情况下,这些概念都是十分重要的。
“特征”一词译自德语的eigen,由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用(赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念)。eigen一词可翻译为“自身的”,“特定于...的”,“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
给定一个向量空间,从到自身的线性变换是一个保持向量加法和标量乘向量这两种运算的函数,例如旋转、反射、拉伸、压缩,或者这些变换的组合等等[1]。一个线性变换可以通过它们在向量上的作用来可视化。一般来说,一个向量在经过映射之后可以变为任何可能的向量,而特征向量具有更好的性质[2]。
一个线性变换的特征向量 是一个非零向量[b]且在这个线性变换下的新向量为 简单地乘以一个标量[2]。也就是说存在一个标量 使得满足下式:
其中的缩放因子 称为这个特征向量的特征值,或者说是线性变换的特征值。反过来,一个实数是线性变换的一个特征值,当且仅当有一个非零向量满足上面的式子[2][3]。
所有具有相同的特征值的特征向量和零向量一起,组成了一个向量空间,称为线性变换的一个特征空间,一般记作[4]。这个特征空间如果是有限维的,那么它的维数叫做的几何重数[5]。
变换的主特征向量是模最大的特征值对应的特征向量[6]。有限维向量空间上的一个变换的谱是其所有特征值的集合[7]。
特征向量也可以看作是关于系数的方程:
的非零解。显然只有在是变换的特征值之时,方程才有非零解[8]。
最简单的例子是恒等变换的特征向量。由于对所有的非零向量,
所以所有的非零向量都是恒等变换的特征向量,对应着特征值1。恒等变换的特征空间只有一个,就是整个空间,对应着特征值1。[9]类似地,数乘变换的特征向量也是所有非零向量,因为按照定义,对所有的非零向量,
如果一个变换可以写成对角矩阵,那么它的特征值就是它对角线上的元素,而特征向量就是相应的基。例如矩阵:
的特征值就是2和4。2对应的特征向量是所有形同的非零向量,而4对应的特征向量是所有形同的非零向量。2对应的特征空间是一个2维空间,而4对应的特征空间是一个1维空间。矩阵的谱是。
对于更复杂的矩阵,特征向量和特征值就不是显然的了。右图中的例子是一个二维平面上的错切变换,其矩阵可以表示为:
的特征向量,按照定义,是在变换的作用下会得到自身的若干倍的非零向量。假设在的作用下变成了自身的倍,也就是
在等式两边的左侧乘以单位矩阵I,得到
因此
根据线性方程组理论,为了使这个方程有非零解,矩阵的行列式必须是零:
det: determinant,行列式
按照行列式的展开定义,上面式子的左端是一个关于的多项式,称为特征多项式。这个多项式的系数只和有关。在这个例子中,可以计算这个特征多项式:
在这种情况下特征多项式的方程变成。它的唯一的解是:。这就是矩阵的特征值。
找到特征值后,就可以找出
的非零解,也就是特征向量了。在例子中:
将代入,就有
解这个新矩阵方程,得到如下形式的解:
这里的c是任意非零常量。因此,矩阵的特征向量就是所有竖直方向的向量(比如图中红色箭头代表的向量)。
一般来说,2×2的非奇异矩阵如果有两个相异的特征值,就有两个线性无关的特征向量。在这种情况下,对于特征向量,线性变换仅仅改变它们的长度,而不改变它们的方向(除了反转以外),而对于其它向量,长度和方向都可能被矩阵所改变。如果特征值的模大于1,特征向量的长度将被拉伸,而如果特征值的模小于1,特征向量的长度就将被压缩。如果特征值小于0,特征向量将会被翻转。
随着地球的自转,每个从地心往外指的箭头都在旋转,除了在转轴上的那些箭头。考虑地球在一小时自转后的变换:地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量,并且因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸,它的特征值是1;但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。
另一个例子是,薄金属板关于一个固定点均匀伸展,使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个有特征值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量,而相应的特征空间是所有这些向量的集合。
但是,三维几何空间不是唯一的向量空间。例如,考虑两端固定的拉紧的绳子,就像弦乐器的振动弦那样(图2.)。振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量,那个空间的维数就是弦上原子的个数。
如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换,它的特征向量,或者说特征函数(如果将绳子假设为一个连续媒介),就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动,它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子(特征值)。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅(特征值)在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命,并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。
从数学上看,如果非零向量v与变换满足
则称向量v是变换的一个特征向量,λ是相应的特征值。其中是将变换作用于v得到的向量。
假设是一个线性变换,那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为:
其中是向量在基向量上的投影(即坐标),这里假设向量空间为n 维。由此,可以直接以坐标向量表示。利用基向量,线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。上述的特征值方程可以表示为:
但是,有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空间是无穷维的时候,上述的弦的情况就是一例。取决于变换和它所作用的空间的性质,有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。若是一个微分算子,其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。例如,微分本身是一个线性变换因为(若M和N是可微函数,而a和b是常数)
考虑对于时间的微分。其特征函数满足如下特征值方程:
- ,
其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数,如果,它就不变,如果为正,它就按比例增长,如果是负的,它就按比例衰减。例如,理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快,从而满足一个正λ的特征值方程。
该特征值方程的解是,也即指数函数;这样,该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。若λ是一个负数,我们称N的演变为一个指数衰减;若它是正数,则称指数增长。λ的值可以是一个任意复数。因此d/dt的谱是整个复平面。在这个例子中,算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。该空间有无穷维(因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的)。但是,每个特征值λ所对应的特征空间是一维的。它就是所有形为的函数的集合。N0是任意常数,也就在t=0的初始数量。
谱定理在有限维的情况,将所有可对角化的矩阵作了分类:它显示一个矩阵是可对角化的,当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭(厄尔米特)的情况。这很有用,因为对角化矩阵T的函数f(T)(譬如波莱尔函数f)的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如,若f是解析的,则它的形式幂级数,若用T取代x,可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。
谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子,或者无界自共轭算子的情况。
假设我们想要计算给定矩阵的特征值。若矩阵很小,我们可以用特征多项式进行符号演算。但是,对于大型矩阵这通常是不可行的,在那种情况我们必须采用数值方法。
描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式:就如之前的例子一样,说λ是A的特征值等价于说线性系统(A – λI)v = 0(其中I是单位矩阵)有非零解v(一个特征向量),因此等价于说行列式:
函数:是一个关于λ的多项式,称为A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。求一个矩阵A的特征值可以通过求解方程来得到。
若A是一个n×n矩阵,则为n次多项式,因而A最多有n个特征值。反过来,如果A的系数是在一个代数闭域里面(比如说复数域),那么代数基本定理说明这个方程刚好有n个根(如果重根也计算在内的话)。所有奇数次的多项式必有一个实数根,因此当n为奇数的时候,每个n维实系数矩阵至少有一个实数特征值。当矩阵系数是实数的时候,非实数的特征值会成共轭对出现。
一旦找到特征值λ,相应的特征向量就可以通过求解如下方程得到:
实系数的矩阵不一定有实数特征值。比如对于以下的矩阵(表示二维平面上的顺时针90°的一个旋转变换):
其特征多项式是,因此其特征值成复共轭对出现,分别是i和-i,而没有实数特征值。相应的特征向量也是非实数的。