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狄利克雷定理

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狄利克雷定理狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数同余类中分布的定理:对于任意互质正整数同余的质数集合相对质数集合密度

定理内容

狄利克雷定理表明:

互质,则
其中,欧拉函数为质数计数函数,为模同余集合中小于的质数个数。

质数在同余类中的分布

狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说,在模同余类中,除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合,质数的分布是大致均匀的。

  • 为例:共有个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
  • 为例:共有个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为
在不大于的质数中,质数在中的比率分别为

相关定理

  • 欧几里得证明了有无限个质数,即有无限多个质数的形式如
  • 算术级数的质数定理:若互质,则有

其中φ是欧拉函数。取,可得一般的质数定理

  • Linnik定理英语Linnik's theorem说明了级数中最小的质数的范围:算术级数中最小的质数少于,其中均为常数,但这两个常数的最小值尚未找到。
  • Chebotarev密度定理英语Chebotarev's density theorem是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。

历史

欧拉曾以,来证明质数有无限个。约翰·彼得·狄利克雷得以灵感,借助证明来证明算术级数中有无限个质数。这个定理的证明中引入了狄利克雷L函数,应用了一些解析数学的技巧,是解析数论的重要里程碑。

推广

这个定理的一些推广形式,但是都还只是未被证明的猜想而已,并不是定理。

参考

  • T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7
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