狄拉克符号或狄拉克标记（英语：Dirac notation）是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中，每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的态向量，定义为右矢（ket）：${\displaystyle |\psi \rangle }$；每一个右矢的共轭转置定义为其左矢（bra）；换一种说法，右矢的厄米共轭（即取转置运算加上共轭复数运算），就可以得到左矢。

此标记法为狄拉克于1939年将“bracket”（括号）这个词拆开后所造的。^[1]在中国方面，一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”，现已弃用。

矩阵表示

右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为：

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix))}$

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix))}$

不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示：${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$，当狄拉克符号作用于两个基矢时，所得值为：${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij))$ （${\displaystyle \delta _{ij))$为克罗内克函数）

相同的态矢量内积为：${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =\sum _{i}|\psi _{i}|^{2))$。

性质

因为每个右矢是复希尔伯特空间中的一个向量，而每个右矢-左矢关系是内积，而直接地可以得到如下的操作方式：

• 给定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$、右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$以及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$，还有复数c₁及c₂，则既然左矢是线性泛函，根据线性泛函的加法与标量乘法的定义，

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle }$。

• 给定任何右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$、左矢${\displaystyle \langle \phi _{1}|}$以及${\displaystyle \langle \phi _{2}|}$，还有复数c₁及c₂，则既然右矢是线性泛函，

${\displaystyle {\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle }$。

• 给定任何右矢${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$及${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$，还有复数c₁及c₂，根据内积的性质（其中c*代表c的复数共轭），

${\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$与${\displaystyle c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|}$对偶。

• 给定任何左矢${\displaystyle \langle \phi |}$及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$，内积的一个公理性质指出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*))$。

• 给定任何算符${\displaystyle X}$、左矢${\displaystyle \langle \phi |}$及右矢${\displaystyle |\psi \rangle }$，它们之间的合法相乘满足乘法结合公理，例如，^[2]:16-17

${\displaystyle (|\omega \rangle \langle \phi |)\ |\psi \rangle =|\omega \rangle \ (\langle \phi |\psi \rangle )}$、

${\displaystyle \langle \phi |\ (X|\psi \rangle )=(\langle \phi |X)\ |\psi \rangle }$。

相关条目

• 量子态
• 内积空间
• 角动量图

参考文献