源位置为 的点电荷 ,其电势 在场位置 为
- ;
其中, 是电常数, 是 与 之间的夹角。
假设 ,场位置比源位置离原点更远,则此距离倒数函数 以 的幂和勒壤得多项式展开为[1] :
- 。
应用球余弦定律(spherical law of cosine), 表示为
- 。
这结果也可以直接用向量代数直接计算出来。
应用球谐函数加法定理, 又表示为[2]
- ;
其中, 是球谐函数。
将这方程式代入电势的方程式,可以得到
- 。
点电荷的“球多极矩” 定义为
- 。
则电势的方程式又可写为
- 。
假设 ,场位置比源位置离原点更近,则此距离倒数函数 可以以 的幂和勒壤得多项式展开:
- 。
点电荷的“内部球多极矩”(前述的球多极矩称为外部球多极矩)定义为
- 。
则电势的方程式写为
- 。
类似地,假设 ,场位置比源位置离原点更近,则电势的方程式为
- ;
其中,电荷密度分布的内部球多极矩定义为 。
- 立体调和函数(solid harmonics)
- 圆柱多极矩
Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 146–148, 1998, ISBN 0-13-805326-X
Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1