环的局部化 - Wikiwand
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环的局部化

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抽象代数中,局部化是一种在中形式地添加某些元素的倒数,藉以建构分式的技术;由此可透过张量积构造的局部化。范畴局部化过程类似,但此时加入的是态射之逆元素,以使得这些态射在局部化以后变为同构

局部化在环论代数几何中占有根本地位,范畴的局部化则引出导范畴的概念,在高等数学中有众多应用。

几何诠释

“局部化”一词源出代数几何。设 是一个仿射代数簇 的坐标环(也就是 上的多项式函数),则 对其元素 的局部化的意义是将 中挖掉,得到的环 正是 的坐标环;若对极大理想 作局部化,则可以设想为挖去所有的 ;得到的环 体现 上的多项式函数在 点的局部性质。

借着将理解为仿射代数簇上的拟凝聚层,可以类似地诠释模的局部化;它无非是拟凝聚层在一个点的茎。

环的局部化

在此仅考虑含单位元的。设 为环,积性子集(定义:对乘法封闭,并包含单位元的集合)。以下将探讨 之局部化。

泛性质

的局部化如果存在,是一个环 (或记作 )配上环同态 ,使之满足以下的泛性质

对任何环 及环同态 ,若 的元素在 下的像皆可逆,则存在唯一的环同态 ,使得 的合成。

此性质可保证局部化 的唯一性。

交换环的情形

当交换环 整环时,局部化的构造相当容易。若 ,则 必然是零环;若不然,我们可以在 分式环 中构造局部化:取 为形如 的元素即可。

对于一般的交换环,我们必须推广分式环的构造;在此须注意到:由于 中可能有零因子,我们不能鲁莽地通分一个分式。构造方式如下:

在集合 上定义下述等价关系

存在 使得

等价类 可以想成“分式” ,借此类比,在商集 上定义加法与乘法为:

可验证上述运算是明确定义的。此外还有环同态 ,定义为 。于是可定义 ,再 配上上述环运算与同态。在实践上,我们常迳将 里的元素写作分式

交换代数代数几何中经常考虑两种局部化:

  • 固定 ,取 。在交换环谱中,对这类 的局部化构成 基本开集 的所有素理想构成的集合)。这种局部化常记作
  • 固定素理想 ,取 ,此时也称作对素理想 的局部化。这种局部化常记作

以下是 的一些环论性质。

  • 当且仅当
  • 环同态 是单射,当且仅当 中不含零因子。
  • 同态 下的逆像给出下列一一对应:
一个重要的特例是取 ,可知 中的素理想一一对应至 中包含于 的素理想,因此 局部环

非交换环的情形

非交换环的局部化较困难,并非对所有积性子集 都有局部化。充分条件之一是欧尔条件,请参阅条目欧尔定理。

其应用之一是用于微分算子环。例如它可以解释作为一个微分算子 抽象地添加逆算子 ;微局部分析中运用了这类构造。

模的局部化

为含单位元的交换环, 是积性子集,而 是个 -模。模的局部化与交换环类似,写作 。我们依然要求存在模同态 及以下的泛性质(此泛性质蕴含唯一性):

对任何 -模 -模同态 ,存在唯一的 -模同态 ,使得 的合成。

事实上,可以用张量积构造模的局部化:

这是一个正合函子,它将单射映为单射。亦即:平坦-模。利用张量积与环的局部化的泛性质,可以形式地导出上述构造确实满足局部化的要求。

此外,也可以仿造交换环的局部化,用分式 直接构造 ,分式间的等价与代数运算类似交换环的情形。

范畴的局部化

范畴的局部化的意义在将一族态射之逆态射加入范畴中,使得这些态射成为同构。这在形式上近于环的局部化,也能使先前不同构的对象在局部化后变为同构。例如,在同伦理论中有许多连续映射在同伦的意义下可逆,借着将这些映射局部化,同伦等价的空间可被视为彼此同构。局部化范畴里的操作也称作分式运算,相关技术细节请见文献中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

一些例子

  1. 塞尔提议在模掉某类阿贝尔群 同伦范畴里操作,这意谓若群 满足 ,则视之为同构的。稍后 Dennis Sullivan 引进一个大胆的想法:改在空间的局部化里操作。如此将影响底层的拓扑空间。
  2. 克鲁尔维数至少是 2,此时若两个 -模 满足 支撑集的余维至少是 2,则可视之为伪同构的。岩泽理论大大利用了这个想法。
  3. 同调代数中,我们借着加入拟同构之逆而得到导范畴
  4. 在阿贝尔簇的理论中,我们常等同两个同源的阿贝尔簇,并将同源映射视为同构。此“至多差一个同源”的范畴是局部化较简单的例子,实质上不外是将 代以

集合论的问题

一般而言,给定一个范畴 及一族态射 ,在探讨是否能构造局部化 时会遇到以下问题:当 是小范畴或 是集合时已知可构造局部化,但一般来说则是个棘手的集合论问题;局部化的典型构造可能会造成两对象间的态射“太多”,换言之可能是个真类。发展模型范畴的动机之一正是要避免这类问题。

文献

  • P. Gabriel and M. Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
  • Charles A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra (1994), Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1
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