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留数定理

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复分析中,留数定理(英语:residue theorem,又叫残数定理)是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具,也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理柯西积分公式的推论。

定理

假设复平面上的一个单连通开子集是复平面上有限个点,是定义在全纯函数。如果是一条把包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个,并且其起点与终点重合,那么:

如果γ是若尔当曲线,那么I(γ, ak) = 1,因此:

在这里,Res(f, ak)表示f在点ak留数,I(γ, ak)表示γ关于点ak卷绕数。卷绕数是一个整数,它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动,卷绕数就是一个正数,如果γ根本不绕过ak,卷绕数就是零。

例子

以下的积分

积分路径
积分路径

在计算柯西分布特征函数时会出现,用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限,积分路径为沿着实直线从−aa,然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1,使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为:

由于eitz是一个整函数(没有任何奇点),这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(zi),因此这个函数在z = iz = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

f(z)在z = i留数是:

根据留数定理,我们有:

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧,使得:

因此

如果t > 0,那么当半圆的半径趋于无穷大时,沿半圆路径的积分趋于零:

上述结果也可以直接由Jordan引理英语Jordan%27s_lemma得到[1],要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要才能成立,所以如果就必须考虑下半平面上的半圆弧。

因此,如果t > 0,那么:

类似地,如果曲线是绕过−i而不是i,那么可以证明如果t < 0,则

因此我们有:

(如果t = 0,这个积分就可以很快用初等方法算出来,它的值为π。)

参见

参考文献

  1. ^ 史济怀; 刘太顺. 复变函数. 合肥: 中国科学技术大学出版社. 1998/12/1. ISBN 9787312009990. 
  • Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9 
  • Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4 
  • Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 1905 (1989), ISBN 2-87647-060-8 

外部链接

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