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皮尔逊卡方检验

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皮尔逊卡方检验(英语:Pearson's chi-squared test)是最有名卡方检验之一(其他常用的卡方检验还有叶氏连续校正英语Yates's correction for continuity似然比检验英语Likelihood-ratio test一元混成检验英语Portmanteau test等等--它们的统计值之概率分配都近似于卡方分配,故称卡方检验)。“皮尔逊卡方检验”最早由卡尔·皮尔逊在1900年发表,[1] 用于类别变量英语categorical variables的检验。科学文献中,当提及卡方检验而没有特别指明类型时,通常即指皮尔逊卡方检验。

原假设

“皮尔逊卡方检验”的零假设(H0)是:一个样本中已发生事件的次数分配会遵守某个特定的理论分配。

在零假设的句子中,“事件”必须互斥,并且所有事件总概率等于1。或者说,每个事件是类别变量(英语:categorical variable)的一种类别或级别(英语:level)。

简单的例子:常见的六面骰子,事件=丢骰子的结果(可能是1~6任一个)属于类别变量,每一面都是此变量的一种(一个级别)结果,每种结果互斥(1不是2, 3, 4, 5, 6; 2不是1, 3, 4 ...),六面的概率总和等于1。

用途和步骤

“皮尔逊卡方检验”可用于两种情境的变项比较:适配度检验英语Goodness of Fit test独立性检验

  • “适配度检验”验证一组观察值的次数分配是否异于理论上的分配。
  • “独立性检验”验证从两个变量抽出的配对观察值组是否互相独立(例如:每次都从A国和B国各抽一个人,看他们的反应是否与国籍无关)。

不管哪个检验都包含三个步骤:

  1. 计算卡方检验的统计值“ ”:把每一个观察值和理论值的差做平方后、除以理论值、再加总。
  2. 计算 统计值的自由度”。
  3. 依据研究者设定的置信水平(显著性水平P值或对应Alpah值),查出自由度为 的卡方分配临界值,比较它与第1步骤得出的 统计值,推论能否拒绝零假设

拟合优度检验

适配度检验(英语:Goodness of Fit test):测试样本的概率分配总体有多相似。

总体假设为离散型均匀分配

当理论上的总体分配为每个类别概率一致时,即应适用离散型均匀分配的计算方法。 个观察值于理论上应均匀分配在所有的 个字段(类别)中,因此每个字段(类别)的“理论次数”(或期望次数)为:

,其中

自由度 。“”是总共要计算离差平方的个数(每个类别计算一次观察值与理论值的差,再平方)。“”是因为对于计算而言只有一个限制条件:观察值的个数总和为

总体假设为其他种分配

贝氏算法

例子

独立性检验

在同一个个体(例如:同一个人)身上有两个二元变量(X, Y),例如 X(男/女)和 Y(右撇子/左撇子),观察两个变量的相关性。零假设是:两个变量呈统计独立性。在本例中:性别与惯用手是独立事件。

  • 首先,每个观察值(每个抽出的人)会被重新编排到一个叫做“列联表”(英语:contingency table,又称:条件次数表)的二维表格里。本例的列联表是2×2的构造(不算入Total字段):
总计
43 44 87
9 4 13
总计 52 48 100
  • 如果列联表共有 r 行 c 列,那么在独立事件的假设下,每个字段的“理论次数”(或期望次数)为:
其中 N 是样本大小(观察值的个数,亦即2×2列联表所有字段的总和,本例:N = 100)。本例的各字段期望值如下(括号里的数字):
总计
43 (45.24) 44 (41.76) 87
9 (6.76) 4 (6.24) 13
总计 52 48 100
  • 统计值的公式是:
本例的统计值是:
  • 自由度 是这样得出:虽然总共要计算 个离差平方(每个字段计算一次观察值与理论值的差,再平方),但 X 变量有1个限制条件(样本抽出后,男性的人数即固定),Y 变量也有1个限制条件(样本抽出后,右撇子的人数即固定),所以可自由变动的字段数只有
在本例中
  • 的条件下,得出卡方分配右尾概率 ,无法拒绝零假设,亦即:无法拒绝性别变量与惯用手变量互相独立的假设

限制

  1. 如果个别字段的期望次数太低,会使概率分配无法近似于卡方分配。一般要求:自由度 时,期望次数小于5的字段不多于总字段的20%。
  2. 若自由度 ,且若期望次数 ,则近似于卡方分配的假设不可信。此时可以将每个观察值的离差减去 之后再做平方,这便是叶慈连续校正英语Yates's correction for continuity

参考文献

引用

期刊文章

书籍[编辑]

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