佩服数

在数论中，佩服数（英文：Admirable numbers），是指若一个正整数除了本身外之所有的约数^{[注 1]}，存在一个约数${\displaystyle d\,^{\prime }}$，将其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$的约数相加后，再减掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，若等于本身，我们就称它为“佩服数”。换句话说佩服数是计算一数的约数和，但其中一个约数是以相反数和其他约数相加，得到的值是自己本身的数。有这种性质的数虽未如完全数一般的完美，但仍被形容为“令人敬佩的”^[1]。

以古氏积木演示的佩服数12

所有大于3的素数的6倍都是佩服数^{[1][注 2]}，因此佩服数有无穷多个。

定义

一个正整数除了本身外之所有约数，存在一个约数${\displaystyle d\,^{\prime }}$，将其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$的约数相加后，再减掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，若等于本身，我们就称它为佩服数。

例如12的约数有1、2、3、4、6、12。其中存在一个约数2，使得${\displaystyle (1+3+4+6)-2=12}$^[2]，同时，12也是最小的佩服数^[1]。

更为严格地说，佩服数是指使得公式${\displaystyle \sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n}$成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即${\displaystyle n}$的所有正因数（包括其本身n）之和。${\displaystyle d\,^{\prime }}$是n的其中一个约数。

例如20的约数有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的结果为${\displaystyle \sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42}$，存在一个约数1，使得${\displaystyle \sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2}$，所以20可称为佩服数。

佩服数是过剩数的一个子集，换句话说所有佩服数都是过剩数^[3]。

例子

最小的一些佩服数是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS数列A111592）

以上列出的佩服数都是偶数。最小的奇佩服数是945^[4]，同时最小的奇过剩数、奇半完全数^[5]也是945。

前几个奇佩服数是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS数列A109729）

连续的佩服数^{[注 3]}比连续的过剩数还要少。在10¹²以下，只有两组连续佩服数，分别是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服数的分布并不像过剩数那样，过剩数有着非零的自然密度^[6]，而佩服数的成长率非线性的，例如小于100的佩服数有13个、小于1,000的佩服数有65个、小于10,000的佩服数有379个（OEIS数列A109727），其密度随着数字尺度变大而逐渐减少。

所有大于3的素数的六倍都是佩服数^{[1][注 2]}，更精确地说，所有的素数与素因数不含该素数之完全数的乘积都是佩服数^{[注 4]}。

相关的数列

盈完全数

有一种与佩服数类似但不太一样的定义：一个正整数除了本身外之所有约数中，存在一个约数${\displaystyle d\,^{\prime }}$，将其他不是本身的约数相加后，再减掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$，等于本身。有这些性质的前几个数有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS数列A153501）

例如18的约数有1、2、3、6、9、18有一个约数3，使得${\displaystyle \left(1+2+3+6+9\right)-3=18}$。

有这种性质的数最小的奇数是173369889^[7]，同时也是最小的奇拟完全数（OEIS数列A181595）^[8]，但不是佩服数。

特别的，这些数字正好与盈完全数（Abundant-perfect numbers）重叠，盈完全数的定义为：自己的约数和（不包含自己）减去自己得到的数可以整除自己。

符合这种定义的数未必是佩服数，例如18虽然符合这种定义，但并未符合佩服数的定义^[9]，因此18不是佩服数^{[注 5]}。

相容数

萨克斯参考了亲和数的定义，定义了一个新的数叫做相容数（compatible numbers），其定义为有一对数字N和M，分别各存在一个约数d_N和d_M，N将其他不是本身、不是d_N的约数相加后，再减掉d_N，得到M、而M将其他不是本身、不是d_M的约数相加后，再减掉d_M，得到N。

例如30和40^[9]：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前几对相容数是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS数列A109797）和（OEIS数列A109798）

亏完全数

有一种与佩服数类似但相反的定义：若一个正整数除了本身外之所有约数，存在一个约数d'，将其他不是本身的约数相加后，再加上d'，等于本身。有这些性质的前几个数有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……^{[注 6]}

例如10的约数有1、2、5、10有一个约数2，使得${\displaystyle (1+2+5)+2=10}$

特别的，这些数字正好与亏完全数（Deficient-perfect numbers）重叠，亏完全数的定义为：自己减去自己的约数和（不包含自己）得到的数可以整除自己^[10][11]，在这个定义中1也符合，因为1不含自己的约数和是0，1减去零是1，当然可以整除1。

最小的几个亏完全数是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS数列A271816）

所有二的乘幂都是亏完全数^{[注 7]}，除了二的乘幂之外的亏完全数有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS数列A060326）

楚姆克勒数

楚姆克勒数（Zumkeller numbers）是指约数可以分为相同总和的两组数字。例如48的约数可以分为两组：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48}，其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此48是一个楚姆克勒数^[13]。

所有佩服数都是楚姆克勒数，因为佩服数中的相减约数（即其他约数和减去此约数会等于本身的那个约数）以外的约数存在一个约数，其与佩服数中的相减约数相加后会等于其他约数之和。

前几个楚姆克勒数是：

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……（OEIS数列A083207）

参见

• 高合成数
• 完全数
• 婚约数
• 亲和数
• 丰数
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全数

注释

1. 为方便说明，本条目中的“约数”一律指正约数。
2. 假设p是一个大于3的素数，则6p可约数分解为${\displaystyle 2\times 3\times p}$，因此6p共有8个约数，分别为：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，当中存在一个约数6，使得${\displaystyle (1+2+3+p+2p+3p)-6=6p}$本身，因此对所有大于3的素数${\displaystyle p}$，${\displaystyle 6p}$都是佩服数
3. 指两个相邻的整数都是佩服数的情况
4. 假设p是一个大于3的素数、q是一个完全数，则${\displaystyle p\cdot q}$的约数包含所有q的约数和所有q与p的乘积，已知q的约数和为2q，因此${\displaystyle p\cdot q}$的所有正约数和为${\displaystyle 2q+2p\cdot q}$，不含${\displaystyle p\cdot q}$本身的约数和为${\displaystyle (2q+2p\cdot q)-p\cdot q}$为${\displaystyle 2q+p\cdot q}$，因此当中存在一个约数q使得其不包括q的约数和${\displaystyle (q+p\cdot q)}$减去q等于${\displaystyle p\cdot q}$本身，因此对所有大于3的素数p，${\displaystyle p\cdot q}$都是佩服数
5. 18的约数有1，2，3，6，9，18，假设d'为1，得${\displaystyle (2+3+6+9)-1=19}$，非18；假设d'为2，得${\displaystyle (1+3+6+9)-2=17}$，非18；假设d'为3，得${\displaystyle \left(1+2+6+9\right)-3=15}$，非18；假设d'为6，得${\displaystyle (1+2+3+9)-6=9}$，非18；假设d'为9，得${\displaystyle (1+2+3+6)-9=3}$，非18；假设d'为18，得${\displaystyle (1+2+3+6+9)-18=3}$，非18。因此18不存在约数d'，将其他不是本身、不是d'的约数相加后，再减掉d'，能等于本身，因此18不是佩服数^[9]
6. 该数列未被整数数列线上大全收录。
7. 二的乘幂的约数基本上是低于该数的所有二的乘幂，例如64的约数为1、2、4、8、16、32、64，为小于等于64的所有二的乘幂，因此根据二的乘幂级数的性质^[12]，将不是本身的约数相加相当于从1到乘幂少1的二乘幂级数之和因此必等于本身减一，而1为所有自然数的约数，因此二的乘幂必定会是亏完全数。

参考文献

1. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5

1. admirable numbers. numbers aplenty. [2016-08-28]. （原始内容存档于2017-06-03）.
2. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. （原始内容存档于2019-08-12）.
3. Admirable numbers. oeis.org. [2011-07-13]. （原始内容存档于2022-05-11）. All admirable numbers are abundant
4. 佩服數列表. 整数数列线上大全. [2011-07-13]. （原始内容存档于2021-02-26）.
5. Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001. Section B2. pp.75
6. Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001.
7. Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整数数列线上大全. [2016-08-30]. （原始内容存档于2021-11-21）.
8. V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. （原始内容存档 (PDF)于2019-11-09）.
9. T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. [2011年7月13日]. （原始内容存档于2010年11月30日）.
10. M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
11. M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
12. The sum of the powers of two from 2⁰ up to 2^{(n - 1)} is (2^ⁿ) - 1. c2.com. [2016-08-30]. （原始内容存档于2016-09-18）.
13. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A083207 (Zumkeller or integer-perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

外部链接

• Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 （页面存档备份，存于互联网档案馆）