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相对化拓扑

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拓扑学数学的其他相关领域里,拓扑空间 X 子空间是指在 X 子集 S 及在 S 上赋予的由 X 的拓扑所诱导的拓扑.这个诱导出来的拓扑叫做 X 的拓扑在 S 上的相对化拓扑,也叫子空间拓扑、“自然拓扑”.诱导方式参见#定义

定义

给定一拓扑空间 (X,τ) 和一 X 内的子集 S ,于 S 上的子空间拓扑被定义为

亦即, S 的子集于子空间拓扑中为开集当且仅当其为 S 和一于 (X,τ) 内的开集交集。若 S 被设上子空间拓扑,则其本身即为一拓扑空间,并被称之为 (X,τ) 子空间。除非有额外叙述,一般拓扑空间的子集都会假定设有一子空间拓扑。

 S  (X,τ) 内的开集闭集稠密集,则分别称 (SS)  (X,τ) 内的一开子空间闭子空间稠密子空间

另外,也可以定义 X 内的子集 S 的子空间拓扑为会使得内含映射

连续最弱拓扑

更一般地,设 i 为一由集合 S 至拓扑空间 X 单射,则于 S 上的子空间拓扑即为定义为 i 为连续的最弱拓扑。此拓扑的开集恰好会是i-1(U) 的其中一个,其中的 U  X 内的开集。 S 因此同胚于在 X 内的值域(也是带子空间拓扑),且 i 会被称之为拓扑嵌入

例子

  • 给定一具一般拓扑的实数,其自然数(实数的一子空间)的子空间拓扑会是一个离散拓扑
  • 有理数 Q 做为一个 R 的子空间,不带有离散拓扑(点 0 在 Q 内不是开集)。
  • S = [0,1) 为实线 R 的一子空间,则 [0,½) 在 S 内为开集,但在 R 内则不是。相似地,[½, 1) 在 S 内为闭集,但在 R 内则不是。 S 为其自身的开子集和闭子集,但做为 R 的子集则两者皆不是。

参考文献

  • Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
  • Steen, Lynn A. and Seeback, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970) ISBN 0-03-079485-4.
  • Wilard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6

另见

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相对化拓扑
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