# 相量

## 定义

${\displaystyle A\cdot \cos(\omega t+\theta )={\frac {A\cdot e^{j(\omega t+\theta ))){2))+{\frac {A\cdot e^{-j(\omega t+\theta ))){2))}$[注 1]
（其中A和θ分别表波的振幅以及相位，而其频率f则定义为${\displaystyle {\frac {\omega }{2\pi ))}$。）

{\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=\operatorname {Re} \left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta )}\right\}\\&=\operatorname {Re} \left\{Ae^{j\theta }\cdot e^{j\omega t}\right\}\\\end{aligned))}

{\displaystyle {\begin{aligned}A\cdot \cos(\omega t+\theta )&=A\cdot \sin(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2)))\\&=\operatorname {Im} \left\{A\cdot e^{j(\omega t+\theta +{\tfrac {\pi }{2)))}\right\}\\&=\operatorname {Im} \left\{Ae^{j(\theta +{\tfrac {\pi }{2)))}\cdot e^{j\omega t}\right\}\end{aligned))}

## 运算法则

### 与常数（标量）相乘

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{j\theta }\cdot Be^{j\phi })\cdot e^{j\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(ABe^{j(\theta +\phi )})\cdot e^{j\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned))}

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(\frac {d}{dt))(Ae^{j\theta }\cdot e^{j\omega t})\right\}&=\operatorname {Re} \{Ae^{j\theta }\cdot j\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{Ae^{j\theta }\cdot e^{j{\tfrac {\pi }{2))}\omega e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{j(\theta +{\tfrac {\pi }{2)))}\cdot e^{j\omega t}\}\\&=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2)))\end{aligned))} 因此在相量表示法中，正弦波的时间导数仅需要与常数${\displaystyle j\omega =(e^{j{\tfrac {\pi }{2))}\cdot \omega )\,}$相乘就能得到；同样，对相量进行积分运算也只需要乘以常数${\displaystyle {\frac {1}{j\omega ))={\frac {e^{-j{\tfrac {\pi }{2)))){\omega ))\,}$就能得到；不论是微分还是积分运算，时间变量因子${\displaystyle e^{j\omega t}\,}$均不受影响。当利用相量法求解线性微分方程时，我们只需要将方程中全部项中的因子${\displaystyle e^{j\omega t}\,}$提取出来后，计算完成后将这一因子重新引入答案中，就可完成全部求解。例如，求解RC电路中电容上的电压，可建立下列微分方程： ${\displaystyle {\frac {d\ v_{C}(t)}{dt))+{\frac {1}{RC))v_{C}(t)={\frac {1}{RC))v_{S}(t)}$ 当电路中的电压源是正弦变化时： ${\displaystyle v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,}$ 可以代换成如下方程： {\displaystyle {\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{j\omega t}\}\\\end{aligned))} ${\displaystyle v_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\},}$ 其中相量${\displaystyle V_{s}=V_{P}e^{j\theta },\,}$，相量${\displaystyle V_{c}\,}$是需要求取的未知量。 利用相量的简短记法，微分方程可化简为：[注 3] ${\displaystyle j\omega V_{c}+{\frac {1}{RC))V_{c}={\frac {1}{RC))V_{s))$ 解得相量电容电压为： ${\displaystyle V_{c}={\frac {1}{1+j\omega RC))\cdot (V_{s})={\frac {1-j\omega RC}{1+(\omega RC)^{2))}\cdot (V_{P}e^{j\theta })\,}$ 如上所示，结果为一个因子与${\displaystyle V_{s}\,}$的乘积，这代表了关联于${\displaystyle V_{P}\,}$${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle v_{C}(t)\,}$的幅值和相位的不同之处。 用极坐标形式表示，则结果为： ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2))))\cdot e^{-j\phi (\omega )}\,}$，其中${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)\,}$。（简化的极坐标形式为：${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2))))\angle -\arctan(\omega RC)}$ 因此得到电容电压为： ${\displaystyle v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2))))\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))}$ ### 加法 相量的和是由旋转矢量进行合成得到的 多个相量相加可以得到另一个相量，因为同频率的正弦波相加可得到频率相同的合成正弦波： {\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{j\theta _{1))e^{j\omega t}\}+\operatorname {Re} \{A_{2}e^{j\theta _{2))e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{A_{1}e^{j\theta _{1))e^{j\omega t}+A_{2}e^{j\theta _{2))e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A_{1}e^{j\theta _{1))+A_{2}e^{j\theta _{2)))e^{j\omega t}\}\\&=\operatorname {Re} \{(A_{3}e^{j\theta _{3)))e^{j\omega t}\}\\&=A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned))} 其中： ${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos {\theta _{1))+A_{2}\cos {\theta _{2)))^{2}+(A_{1}\sin {\theta _{1))+A_{2}\sin {\theta _{2)))^{2},}$ ${\displaystyle \theta _{3}=\arctan {\left({\frac {A_{1}\sin {\theta _{1))+A_{2}\sin {\theta _{2))}{A_{1}\cos {\theta _{1))+A_{2}\cos {\theta _{2))))\right)},}$ 复平面上的余弦定理角的和差恒等式也可得到相同结果： ${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta ),=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$ 其中${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2))$ 这种计算方法的关键是A3和θ3 并不取决于ω或t，因为在这种情况下才可以使用相量法。方程中的时间和频率因子可以在计算时去掉，在相量运算完成后的结果中乘以这一因子即可。若使用极坐标表示法，运算的形式则为： ${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$ 另外一个考虑问题的角度是将加法运算视为[A1 cos(ωt+θ1), A1 sin(ωt+θ1)][A2 cos(ωt+θ2), A2 sin(ωt+θ2)]的矢量和，最终得到矢量[A3 cos(ωt+θ3), A3 sin(ωt+θ3)]，如上图所示。 三波发生完全相消干涉的相量图 在物理学中，当正弦波发生相长或相消干涉时，可被视为相量加法。若将3个大小相当的矢量首尾相接，得到的是一个等边三角形，因此每2个相量间的夹角是120°（2π/3弧度），即波长的三分之一λ/3。因此每一波形之间的相位差必须为120°时，正弦波才能发生完全相消干涉，而这种相位条件与三相交流电是相同的。用公式可表示为： ${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos(\omega t+{\frac {2\pi }{3)))+\cos(\omega t+{\frac {4\pi }{3)))=0\,}$ 在三个波相消干涉的情况下，第一个波和第三个波的相位相差240°，而两个波发生相消干涉的条件是相位相差180°时。若多个波进行相消干涉，第一个相量和最后一个相量几乎平行。这意味着对于多个波源的情况，第一个波和最后一个波发生相消干涉的条件是相位相差360°，即一个全波长${\displaystyle \lambda }$。因此，单缝衍射的极小值位置是光程差为全波长的位置。 ### 相量图 电机工程师、电子工程师、电气工程师以及飞机工程师都使用相量图使复常数和相量变量可视化。与矢量一样，在图纸或计算机中都用箭头代表相量。相量可以用指数形式或极坐标形式表示，各有优点。 ## 电路定律 用相量法表示正弦交流电后，就可以将直流电路的分析方法直接用于分析交流电路，这些基本定律如下： 由以上定律，我们可以使用相量法进行阻性电路分析，可分析包含电阻、电容和电感的单一频率交流电路。分析多频率线性交流电路和不同波形的交流电路时，可以先将电路化为正弦波分量的组合（由叠加定理满足），然后对每一频率情况的正弦波进行分析，找出电压和电流。 ## 电力工程 三相交流电力系统的分析中，通常会有一组相量被定义为3个复单位立方根，并以图表示为角0°、120°以及240°处的单位幅值。将多相交流电路的量化为相量后，平衡电路可被化简，而非平衡电路可被当作对称电路的代数组合。这种方法简化了电学计算中计算电压降、功率流以及短路电流所需的工作。在电力系统分析中，相位角的单位常为，而幅值大小则通常是以方均值而不是峰值来定义。 同步相量技术中使用数字式仪表来测量相量，先进的测量设备包括同步相量测量装置（PMU），能直接即刻测得某节点的相量，不需要花费时间进行大量的计算。[7]在输电系统中，相量一般被广泛地认为是表示输电系统电压。相量的微小变化是功率流和系统稳定性的灵敏指示参数。 ## 脚注 1. ^ • j虚数单位${\displaystyle j^{2}=-1}$）。 • 虚数单位用j表示是电气工程学中的用法，而在数学中则一般用i表示虚数单位。 2. ^ 可由${\displaystyle {\frac {d}{dt))(e^{j\omega t})=j\omega e^{j\omega t))$得出，表明复指数是微分运算的本征函数 3. ^ 证明： ${\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}){dt))+{\frac {1}{RC))\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\}={\frac {1}{RC))\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{j\omega t}\))$

(式1)

由于对所有${\displaystyle t\,}$，更清楚地说是所有${\displaystyle t-{\frac {\pi }{2\omega )),\,}$，上式均成立，因此下式同样成立：

${\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\)){dt))+{\frac {1}{RC))\operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\}={\frac {1}{RC))\operatorname {Im} \{V_{s}\cdot e^{j\omega t}\))$

(式2)

更显而易见的关系如下述方程所示：

${\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\)){dt))=\operatorname {Re} \left$$(\frac {d\left(V_{c}\cdot e^{j\omega t}\right)}{dt))\right\}=\operatorname {Re} \left\{j\omega V_{c}\cdot e^{j\omega t}\right$$)$
${\displaystyle {\frac {d\ \operatorname {Im} \{V_{c}\cdot e^{j\omega t}\)){dt))=\operatorname {Im} \left$$(\frac {d\left(V_{c}\cdot e^{j\omega t}\right)}{dt))\right\}=\operatorname {Im} \left\{j\omega V_{c}\cdot e^{j\omega t}\right$$)$

将以上二式代入式1式2，然后令式2乘以${\displaystyle j\,}$，最后将式1和乘${\displaystyle j\,}$后的式2相加，得到：

${\displaystyle j\omega V_{c}\cdot e^{j\omega t}+{\frac {1}{RC))V_{c}\cdot e^{j\omega t}={\frac {1}{RC))V_{s}\cdot e^{j\omega t))$
${\displaystyle \left(j\omega V_{c}+{\frac {1}{RC))V_{c}={\frac {1}{RC))V_{s}\right)\cdot e^{j\omega t))$
${\displaystyle j\omega V_{c}+{\frac {1}{RC))V_{c}={\frac {1}{RC))V_{s))$

证毕。

## 参考文献

• Douglas C. Giancoli. Physics for Scientists and Engineers. Prentice Hall. 1989. ISBN 0-13-666322-2 （英语）.
1. ^ Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
2. J. Hindmarsh. Electrical Machines & their Applications 4th. Elsevier. 1984: 58. ISBN 978-1-4832-9492-6.
3. ^ William J. Eccles. Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals. Morgan & Claypool Publishers. 2011: 51. ISBN 978-1-60845-668-0.
4. Richard C. Dorf; James A. Svoboda. Introduction to Electric Circuits 8th. John Wiley & Sons. 2010: 661. ISBN 978-0-470-52157-1.
5. Won Y. Yang; Seung C. Lee. Circuit Systems with MATLAB and PSpice. John Wiley & Sons. 2008: 256–261. ISBN 978-0-470-82240-1.
6. ^ Polar and rectangular notation. Volume II - AC. All About Circuits. [2010-08-30] （英语）.
7. ^ 许洪范. 同步相量测量装置的应用进展. 电力设备. 2003年4月, (3) [2010-08-30]. ISSN 1672-2000 （中文）.[永久失效链接]