磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁，会感受到力矩，促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用矢量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极，磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩，载流回路、电子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子。一般磁性物质的磁场，其泰勒展开的多极展开式，由于磁单极子项目恒等于零，第一个项目是磁偶极子项、第二个项目是磁四极子（quadrupole）项，以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等，可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随着距离的增远，磁偶极矩部分会变得越加重要，成为主要项目，因此，磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内，磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同^[1]。

概述

一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=I\mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))\,\!}$为磁偶极矩，${\displaystyle I\,\!}$为电流，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$为面积矢量。磁偶极矩、面积矢量的方向是由右手定则决定。

处于外磁场的载流循环，其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau ))={\boldsymbol {\mu ))\times \mathbf {B} \,\!}$、

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu ))\cdot \mathbf {B} \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\tau ))\,\!}$为力矩，${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$为磁场，${\displaystyle U\,\!}$为势能。

许多基本粒子，例如电子，都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源，许多物理现象也和此有关。这种磁矩和经典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有关，必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的，最小的基本单位，常常称为“磁子”（magneton）。例如，电子自旋的磁矩与玻尔磁子的关系式为：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))_{s}\,\!}$为电子自旋的磁矩，电子自旋g因子${\displaystyle g_{s}\,\!}$是一项比例常数，${\displaystyle \mu _{B}\,\!}$为玻尔磁子，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$为电子的自旋，${\displaystyle \hbar \,\!}$是约化普朗克常数。

单位

采用国际单位制，磁偶极矩的量纲是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法：

1 安培·米² = 1 焦耳／特斯拉。

CGS单位制又可细分为几种亚单位制：静电单位制（electrostatic units），电磁单位制（electromagnetic units）、高斯单位制。

磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分／秒的光速。

在这篇文章内，所有的方程都采用国际单位制。

两种磁源

在任何物理系统里，磁矩最基本的源头有两种：

• 电荷的运动，像电流，会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布（或者所有的电荷的位置和速度），理论上就可以计算出磁矩。
• 像电子、质子一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数，可以用理论推导出来，得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如，电子磁矩的测量值是−9.284764×10⁻²⁴焦耳／特斯拉^[3]。磁矩的方向完全决定于粒子的自旋方向（电子磁矩的测量值是负值，这意味着电子的磁矩与自旋呈相反方向）。

整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的矢量和。例如，氢原子的磁场是以下几种磁矩的矢量和：

• 电子的自旋。
• 电子环绕着质子的轨域运动。
• 质子的自旋。

再举个例子，构成条形磁铁的物质，其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的矢量和，是条形磁铁的磁矩。

计算磁矩的方程

平面循环

假设一个平面载流循环的面积矢量为${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$、所载电流为${\displaystyle I\,\!}$，则其磁偶极矩为${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=I\mathbf {a} \,\!}$。

对于最简单的案例，平面载流循环的磁偶极矩${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))\,\!}$是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=I\mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle I\,\!}$是循环所载有的恒定电流，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$是平面循环的面积矢量。

面积矢量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出：令四只手指朝着电流方向弯曲，伸直大拇指，则大拇指所指的方向即是面积矢量的方向，也是磁偶极矩的方向。

这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩，像磁四极矩，磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=I\mathbf {a} \,\!}$不变，则所有更高阶的磁矩会趋向于零，这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子，或纯磁偶极子。

任意回路

对于任意回路案例，假设回路载有恒定电流${\displaystyle I\,\!}$，则其磁偶极矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$是积分曲面，${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$是${\displaystyle \mathbb {S} \,\!}$边缘的闭合回路，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}$是微小面积元素，${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,\!}$是微小线元素，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,\!}$的位置。

引用矢量恒等式

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2))\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,\!}$，

即可得到磁偶极矩的路径积分方程

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))={\frac {I}{2))\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,\!}$。

任意电流分布

对于最广义的任意电流分布案例，磁偶极矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))={\frac {1}{2))\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$是积分体积，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是源电流位置，${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$是电流密度，${\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}$是微小体积元素。

任意一群移动电荷，像旋转的带电固体，都可以用这方程计算出其磁偶极矩。

基本粒子

在原子物理学和核子物理学里，磁矩的大小标记为${\displaystyle \mu \,\!}$，通常测量单位为玻尔磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩关系到粒子的自旋，和／或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩：

欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系，请参阅条目磁化强度。

载流回路产生的磁场

磁偶极子的磁场线。从侧面望去，磁偶极子竖立于绘图的中央。

载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是，随着距离的增远，这些多极项目会更快速地减小，因此，在远距离位置，只有偶极项目是磁场的显要项目。

思考一个载有恒定电流${\displaystyle I\,\!}$的任意局域回路${\displaystyle \mathbb {C} \,\!}$，其磁矢势${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$为

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi ))\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|))\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是检验位置，${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$是源头位置，是微小线元素${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,'\,\!}$的位置，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$是磁常数。

假设检验位置足够远，${\displaystyle r>r'\,\!}$，则表达式${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|))\,\!}$可以泰勒展开为

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|))={\frac {1}{r))\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r))\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!}$；

其中，${\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!}$是勒让德多项式，${\displaystyle \theta '\,\!}$是${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$与${\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}$之间的夹角。

所以，磁矢势展开为

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi ))\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1))}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,'\,\!}$。

思考${\displaystyle n=0\,\!}$项目，也就是磁单极子项目：

${\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r))\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,'=0\,\!}$。

由于闭合回路的矢量线积分等于零，磁单极子项目恒等于零。

再思考${\displaystyle n=1\,\!}$项目，也就是磁偶极子项目：

${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2))}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2))}\ (-{\hat {\mathbf {r} ))\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!}$。

注意到磁偶极矩为${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!}$，偶极磁矢势可以写为

${\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0)){4\pi ))\ {\frac ((\boldsymbol {\mu ))\times {\hat {\mathbf {r} ))}{r^{2))}\,\!}$。

偶极磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!}$为

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!}$。

由于磁偶极子的矢势有一个奇点在它所处的位置（原点${\displaystyle \mathbf {O} }$），必须特别小心地计算，才能得到正确答案。更仔细地推导，可以得到磁场为

${\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0)){4\pi r^{3))}\left[3({\boldsymbol {\mu ))\cdot {\hat {\mathbf {r} ))){\hat {\mathbf {r} ))-{\boldsymbol {\mu ))\right]+{\frac {2\mu _{0)){3)){\boldsymbol {\mu ))\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}$是狄拉克δ函数。

偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂，因而形成了超精细结构（hyperfine structure）^[5]。在天文学里，氢原子的超精细结构给出了21公分谱线，在电磁辐射的无线电波范围，是除了3K背景辐射以外，宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元（recombination）至再电离纪元（reionization）之间的天文学研究，只能依靠观测21公分谱线无线电波。

给予几个磁偶极矩，则按照叠加原理，其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总矢量和。

处于外磁场的磁偶极子

磁偶极子感受到的磁力矩

处于均匀磁场的一个方形载流循环。

如图右，假设载有电流${\displaystyle I\,\!}$的一个方形循环处于外磁场${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} ))\,\!}$。方形循环四个边的边长为${\displaystyle w\,\!}$，其中两个与${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} ))\,\!}$平行的边垂直于外磁场，另外两个边与磁场之间的夹角角弧为${\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}$。

垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau ))=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta )){2))+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta )){2))\right){\hat {\mathbf {y} ))=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} ))\,\!}$。

另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为 ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu ))}\,\!}$。所以，这循环感受到的磁力矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau ))={\boldsymbol {\mu ))\times \mathbf {B} \,\!}$。

令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大，同时保持${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=I\mathbf {a} \,\!}$不变，则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以，处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。

当磁偶极矩垂直于磁场时，磁力矩的大小是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$；当磁偶极矩与磁场平行时，磁力矩等于零。

磁偶极子的势能

将载流循环从角弧${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$扭转到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，磁场所做的机械功${\displaystyle W\,\!}$为

${\displaystyle W=-\int _{\theta _{1))^{\theta _{2))\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1))^{\theta _{2))\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2))-\cos {\theta _{1)))\,\!}$。

注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向，而${\displaystyle \theta \,\!}$是朝着顺时针方向递增，所以必须添加一个负号。设定${\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}$，则

${\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2))={\boldsymbol {\mu ))\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

对抗这磁场的磁力矩，将载流循环从角弧${\displaystyle \pi /2\,\!}$扭转到角弧${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$，所做的机械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$为

${\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu ))\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

定义载流循环的势能${\displaystyle U\,\!}$等于这机械功${\displaystyle W_{a}\,\!}$，以方程表示为

${\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu ))\cdot \mathbf {B} \,\!}$。

与前段所述同理，磁偶极子的势能也可以用这方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时，势能等于零；当磁偶极矩与磁场呈相同方向时，势能是最小值${\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}$；当磁偶极矩与磁场呈相反方向时，势能是最大值${\displaystyle \mu B_{0}\,\!}$。

非均匀磁场

假设外磁场为均匀磁场，则作用于载流回路${\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}$的磁场力等于零：

${\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell ))'\times \mathbf {B} =0\,\!}$。

假设外磁场为非均匀的，则会有一股磁场力，作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同，求得的磁场力也会不同^[6]。采用常见的“电流模型”，则一个磁偶极子所感受到的磁场力为

${\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu ))\cdot \mathbf {B} )\,\!}$。

另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型，计算出的磁场力为

${\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu ))\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}$。

两者之间的差别为

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu ))\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}$。

假设，电流等于零，电场不含时间，则根据麦克斯韦-安培方程，

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}$，

两种模型计算出来的磁场力相等。可是，假设电流不等于零，或电场为含时电场，则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年，两个不同的实验，研究中子的散射于铁磁性物质，分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合^[6]。

范例

圆形载流循环的磁偶极矩

一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如，载有1安培电流，半径${\displaystyle r'\,\!}$为0.05米的单匝圆形载流循环，其磁偶极矩为：

${\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}$。

磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩，可以用来建立以下几点论据：

• 假设场位置的距离${\displaystyle r\,\!}$超远于循环半径${\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}$，则磁场会呈反立方减弱：

沿着循环的中心轴，磁矩与场位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$平行：

${\displaystyle B={\frac {\mu _{0)){4\pi r^{3))}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7)){4\pi r^{3))}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9)){r^{3))}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

在包含循环的平面的任意位置，磁矩垂直于场位置：

${\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0)){4\pi r^{3))}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7)){4\pi r^{3))}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9)){r^{3))}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}$。

负号表示平面任意位置案例与中心轴案例，这两个案例的磁场呈相反方向。

• 假设在地球的某地方，地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$的数值大约为0.5 高斯（5×10⁻⁵ 特斯拉），而且循环磁矩垂直于地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，则此循环所感受到的力矩为

${\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}$。

• 应用力矩的观念，可以制造出罗盘。假设这罗盘的磁针，由于力矩的作用，从磁针的磁矩垂直于地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$，旋转至磁针的磁矩与地磁场${\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}$呈相同方向，则这罗盘-地球系统释放出的能量${\displaystyle U\,\!}$为

${\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}$ 。

由于罗盘悬浮系统的摩擦机制，这能量是以热量的形式耗散净尽。

螺线管的磁矩

螺线管三维电脑绘图。

一个多匝线圈（或螺线管）的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的矢量和。对于全同匝（单层卷绕），只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数，就可得到总磁矩。然后，这总磁矩可以用来计算磁场，力矩，和储存能量，方法与使用单匝线圈计算的方法相同。

假设螺线管的匝数为${\displaystyle N\,\!}$，每一匝线圈面积为${\displaystyle a\,\!}$，通过电流为${\displaystyle I\,\!}$，则其磁矩为

${\displaystyle \mu =NIa\,\!}$。

载电粒子圆周运动的磁矩

假设，一个点电荷${\displaystyle q\,\!}$以等速${\displaystyle v\,\!}$绕着z-轴，移动于半径为${\displaystyle r\,\!}$的平面圆形路径，则其电流为^[7]

${\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r))\,\!}$。

其磁矩为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))={\frac {qv}{2\pi r))\pi r^{2}={\frac {qvr}{2)){\hat {\mathbf {z} ))\,\!}$。

其角动量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$为

${\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} ))\,\!}$。

其中，${\displaystyle m\,\!}$是载电粒子的质量。

所以，磁矩与角动量的经典关系为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))={\frac {q}{2m))\mathbf {J} \,\!}$。

对于电子，这经典关系为

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=-\ {\frac {e}{2m_{e))}\mathbf {J} \,\!}$；

其中，${\displaystyle m_{e}\,\!}$是电子的质量，${\displaystyle e\,\!}$是电子的绝对电量。

假设，这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力，

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\ {\frac {e^{2)){r^{2))}=m_{e}{\frac {v^{2)){r))\,\!}$；

其中，${\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}$是电常数。

现在施加外磁场${\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} ))\,\!}$于此氢原子，则会有额外的洛伦兹力作用于电子。假设轨道半径不变（这只是一个粗略计算），只有电子的速度改变为${\displaystyle v_{B}\,\!}$，则

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0))}\ {\frac {e^{2)){r^{2))}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2)){r))\,\!}$。

所以，

${\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e))}\,\!}$。

假设，两个速度的差别${\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}$超小，则

${\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e))}\,\!}$。

所以，由于施加外磁场${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$，磁矩的变化为

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu ))=-{\frac {e\Delta vr}{2)){\hat {\mathbf {z} ))=-{\frac {e^{2}r^{2)){4m_{e))}B{\hat {\mathbf {z} ))\,\!}$。

注意到${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu ))\,\!}$与${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$呈相反方向，因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是，抗磁性是一种量子现像，经典解释并不正确。

为了简略计算，使用半经典方法^[8]，可以求出磁矩的变化为

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu ))=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e))}B{\hat {\mathbf {z} ))\,\!}$；

其中，${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}$是半径平方的期望值。

电子的磁矩

电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性，涉及到量子力学。详尽细节，请参阅条目电子磁偶极矩（electron magnetic dipole moment）。微观的内禀磁矩集聚起来，形成了巨观的磁效应和其它物理现象，例如电子自旋共振。

电子的磁矩是

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{e}\,\!}$是电子的朗德g因子，${\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}$是玻尔磁子，${\displaystyle \mathbf {S} \,\!}$是电子的自旋角动量。

按照前面计算的经典结果，${\displaystyle g_{e}=1\,\!}$；但是，在狄拉克力学里，${\displaystyle g_{e}=2\,\!}$；更准确地，由于量子电动力学效应，它的实际値稍微大些，${\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}$。

请注意，由于这方程内的负号，电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为，经典电磁学的解释为：假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷，这旋转所产生的电流的方向是相反的方向，这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理，带有正电荷的正子（电子的反粒子），其磁矩与自旋呈相同方向。

原子的磁矩

在原子内部，可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算，必须先将每一个电子的自旋总和，得到总自旋，再将每一个电子的轨角动量总和，得到总轨角动量，最后用角动量耦合（angular momentum coupling）方法将总自旋和总轨角动量总和，即可得到原子的总角动量。原子的磁矩${\displaystyle \mu \,\!}$与总角动量${\displaystyle \mathbf {J} \,\!}$的关系为^[9]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu ))=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{J}\,\!}$是原子独特的朗德g因子。

磁矩对于磁场方向的分量${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是

${\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}$；

其中，${\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}$是总角动量对于磁场方向的分量，${\displaystyle J_{m}\,\!}$是磁量子数，可以取2J+1个整数値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一个整数值。

因为电子带有负电荷，所以${\displaystyle \mu _{z}\,\!}$是负值。

处于磁场的磁偶极子的动力学，不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子，迫使它依著磁场线排列。但是，力矩是角动量对于时间的导数。所以，会产生自旋进动，也就是说，自旋方向会改变。这物理行为以方程表达为

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma )){\frac {d{\boldsymbol {\mu ))}{dt))={\boldsymbol {\mu ))\times \mathbf {H} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \gamma \,\!}$是回转磁比率（gyromagnetic ratio） ，${\displaystyle \mathbf {H} \,\!}$是磁场。

注意到这方程的左手边项目是角动量对于时间的导数，而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分：

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu )){\frac {d{\boldsymbol {\mu ))}{dt))\,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}$是有效磁场（外磁场加上任何自身场），${\displaystyle \lambda \,\!}$是阻尼系数。

这样，可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）^[10]：

${\displaystyle {\frac {1}{\gamma )){\frac {d{\boldsymbol {\mu ))}{dt))={\boldsymbol {\mu ))\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu )){\boldsymbol {\mu ))\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu ))}{dt))\,\!}$。

方程右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动，第二个项目是阻尼项目，会使得进动渐渐减弱，最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程是研究磁化动力学最基本的方程之一。

原子核的磁矩

核子系统是一种由核子（质子和中子）组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关，从核磁矩的测量数据，更明确地，从核磁偶极矩的测量数据，可以研究这些量子性质。

虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长，大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩，其大小是一个常数，通过细心设计的实验，可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值，就可以揭示核子波函数的内涵。现今，有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值，也有很多种实验技术能够进行原子核测试。

分子的磁矩

任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言，一个分子的磁矩是下列贡献的总和，按照典型强度从大至小列出：

• 假若有未配对电子，则是其自旋所产生的磁矩（顺磁性贡献）
• 电子的轨域运动，处于基态时，所产生常与外磁场成正比的磁矩（抗磁性贡献）
• 依照核自旋组态，核自旋所产生的总磁矩。

分子磁性范例

• 氧分子，O₂，由于其最外面的两个未配对电子的自旋，具有强顺磁性。
• 二氧化碳分子，CO₂，由于电子轨域运动而产生的，与外磁场成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有状况下，假若这分子是由具磁性的同位素组成，像¹³C或¹⁷O，则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。
• 氢分子，H₂，处于一个弱磁场（或零磁场），会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体，正氢或仲氢，都具有这种物理性质。

参阅

• 电偶极矩
• 磁化强度
• 磁化率
• 球多极矩
• 绝热不变数
• 磁偶极间相互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）

参考文献

查 论 编 电磁学 静电学 电 电荷 电场 摩擦起电效应 静电放电 静电感应 静电屏蔽 库仑定律 高斯定律 电通量 电势能 电偶极矩 电极化 电位移 静磁学 磁 安培定律 磁场 磁感应强度 磁场强度 磁化强度 磁通量 毕奥-萨伐尔定律 磁矩 高斯磁定律 磁矢势 电学 电路 电流 电势 电压 电阻 绝缘体 半导体 导体 超导体 欧姆定律 串联电路 并联电路 直流电 交流电 带电流 电动势 电容 电感 阻抗 电导 波导 忆阻器 基尔霍夫电路定律 电现象 压电效应 压阻效应 热电效应 光电效应 电致发光 电动力学 洛伦兹力 霍尔效应 电磁感应 法拉第电磁感应定律 楞次定律 位移电流 麦克斯韦方程组 电磁场 电磁波 麦克斯韦应力张量 坡印亭矢量 李纳-维谢势 杰斐缅柯方程 涡电流 伦敦方程 推迟势 自由空间 协变表述 电磁张量 四维电流密度 电磁应力-能量张量 四维势 发展史 电荷守恒定律 库仑定律 伏打电堆 伽凡尼电池 安培定律 欧姆定律 电磁感应 麦克斯韦方程组 基尔霍夫电路定律 戴维南定理 电磁波 电子 自旋