磁矩是磁铁的一种物理性质。处于外磁场的磁铁,会感受到力矩,促使其磁矩沿外磁场的磁场线方向排列。磁矩可以用矢量表示。磁铁的磁矩方向是从磁铁的指南极指向指北极,磁矩的大小取决于磁铁的磁性与量值。不只是磁铁具有磁矩,载流回路、电子、分子或行星等等,都具有磁矩。
科学家至今尚未发现宇宙中存在有磁单极子。一般磁性物质的磁场,其泰勒展开的多极展开式,由于磁单极子项目恒等于零,第一个项目是磁偶极子项、第二个项目是磁四极子(quadrupole)项,以此类推。磁矩也分为磁偶极矩、磁四极矩等等部分。从磁矩的磁偶极矩、磁四极矩等等,可以分别计算出磁场的磁偶极子项目、磁四极子项目等等。随着距离的增远,磁偶极矩部分会变得越加重要,成为主要项目,因此,磁矩这术语时常用来指称磁偶极矩。有些教科书内,磁矩的定义与磁偶极矩的定义相同[1]。
概述
一个载流循环的磁偶极矩是其所载电流乘以回路面积:
;
其中,
为磁偶极矩,
为电流,
为面积矢量。磁偶极矩、面积矢量的方向是由右手定则决定。
处于外磁场的载流循环,其感受到的力矩和其势能与磁偶极矩的关系为:
、
;
其中,
为力矩,
为磁场,
为势能。
许多基本粒子,例如电子,都具有内禀磁矩。这种内禀磁矩是许多巨观磁场力的来源,许多物理现象也和此有关。这种磁矩和经典物理的磁矩不同,而是和粒子的自旋有关,必须用量子力学来解释。这些内禀磁矩是量子化的,最小的基本单位,常常称为“磁子”(magneton)。例如,电子自旋的磁矩与玻尔磁子的关系式为:
;
其中,
为电子自旋的磁矩,电子自旋g因子
是一项比例常数,
为玻尔磁子,
为电子的自旋,
是约化普朗克常数。
单位
采用国际单位制,磁偶极矩的量纲是面积×电流。磁偶极矩的单位有两种等价的表示法:
- 1 安培·米2 = 1 焦耳/特斯拉。
CGS单位制又可细分为几种亚单位制:静电单位制(electrostatic units),电磁单位制(electromagnetic units)、高斯单位制。
磁偶极矩单位转换表[2]
光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010
语言 |
国际单位制 |
静电单位制 |
电磁单位制 |
高斯单位制
|
中文 |
1 安培·米2 = 1 焦耳/特斯拉 |
= (103 c) 静安培·公分2 |
= (103) 绝对安培·公分2 |
= (103) 尔格/高斯
|
英文 |
1 A·m2 =1 J/T |
= (103 c) statA·cm2 |
= (103) abA·cm2 |
= (103) erg/Gauss
|
磁偶极矩在电磁单位制与在静电单位制的比例正好等于单位为公分/秒的光速。
在这篇文章内,所有的方程都采用国际单位制。
两种磁源
在任何物理系统里,磁矩最基本的源头有两种:
- 电荷的运动,像电流,会产生磁矩。只要知道物理系统内全部的电流密度分布(或者所有的电荷的位置和速度),理论上就可以计算出磁矩。
- 像电子、质子一类的基本粒子会因自旋而产生磁矩。每一种基本粒子的内禀磁矩的大小都是常数,可以用理论推导出来,得到的结果也已经通过做实验核对至高准确度。例如,电子磁矩的测量值是−9.284764×10−24焦耳/特斯拉[3]。磁矩的方向完全决定于粒子的自旋方向(电子磁矩的测量值是负值,这意味着电子的磁矩与自旋呈相反方向)。
整个物理系统的净磁矩是所有磁矩的矢量和。例如,氢原子的磁场是以下几种磁矩的矢量和:
- 电子的自旋。
- 电子环绕着质子的轨域运动。
- 质子的自旋。
再举个例子,构成条形磁铁的物质,其未配对电子的内禀磁矩和轨域磁矩的矢量和,是条形磁铁的磁矩。
计算磁矩的方程
平面循环
假设一个平面载流循环的面积矢量为

、所载电流为

,则其磁偶极矩为

。
对于最简单的案例,平面载流循环的磁偶极矩
是
;
其中,
是循环所载有的恒定电流,
是平面循环的面积矢量。
面积矢量和磁偶极矩的方向是由右手定则给出:令四只手指朝着电流方向弯曲,伸直大拇指,则大拇指所指的方向即是面积矢量的方向,也是磁偶极矩的方向。
这有限面积的载流循环还有更高阶的磁矩,像磁四极矩,磁八极矩等等。假设载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大,同时保持
不变,则所有更高阶的磁矩会趋向于零,这真实的载流循环趋向于理想磁偶极子,或纯磁偶极子。
任意回路
对于任意回路案例,假设回路载有恒定电流
,则其磁偶极矩为
;
其中,
是积分曲面,
是
边缘的闭合回路,
是微小面积元素,
是微小线元素,
是
的位置。
引用矢量恒等式
,
即可得到磁偶极矩的路径积分方程
。
任意电流分布
对于最广义的任意电流分布案例,磁偶极矩为
;
其中,
是积分体积,
是源电流位置,
是电流密度,
是微小体积元素。
任意一群移动电荷,像旋转的带电固体,都可以用这方程计算出其磁偶极矩。
基本粒子
在原子物理学和核子物理学里,磁矩的大小标记为
,通常测量单位为玻尔磁子或核磁子(nuclear magneton)。磁矩关系到粒子的自旋,和/或粒子在系统内的轨域运动。以下列表展示出一些粒子的内禀磁矩:
一些基本粒子的内禀磁矩和自旋[4]
粒子 |
内禀磁矩(10−27 焦耳/特斯拉) |
自旋量子数
|
电子 |
-9284.764 |
1/2
|
质子 |
+14.106067 |
1/2
|
中子 |
-9.66236 |
1/2
|
μ子 |
-44.904478 |
1/2
|
重氢 |
+4.3307346 |
1
|
氢-3 |
+15.046094 |
1/2
|
欲知道更多有关于磁矩与磁化强度之间的物理关系,请参阅条目磁化强度。
载流回路产生的磁场
磁偶极子的
磁场线。从侧面望去,磁偶极子竖立于绘图的中央。
载流回路会在周围产生磁场。这磁场包括偶极磁场与更高次的多极项目。但是,随着距离的增远,这些多极项目会更快速地减小,因此,在远距离位置,只有偶极项目是磁场的显要项目。
思考一个载有恒定电流
的任意局域回路
,其磁矢势
为
;
其中,
是检验位置,
是源头位置,是微小线元素
的位置,
是磁常数。
假设检验位置足够远,
,则表达式
可以泰勒展开为
;
其中,
是勒让德多项式,
是
与
之间的夹角。
所以,磁矢势展开为
。
思考
项目,也就是磁单极子项目:
。
由于闭合回路的矢量线积分等于零,磁单极子项目恒等于零。
再思考
项目,也就是磁偶极子项目:
。
注意到磁偶极矩为
,偶极磁矢势可以写为
。
偶极磁场
为
。
由于磁偶极子的矢势有一个奇点在它所处的位置(原点
),必须特别小心地计算,才能得到正确答案。更仔细地推导,可以得到磁场为
;
其中,
是狄拉克δ函数。
偶极磁场的狄拉克δ函数项目造成了原子能级分裂,因而形成了超精细结构(hyperfine structure)[5]。在天文学里,氢原子的超精细结构给出了21公分谱线,在电磁辐射的无线电波范围,是除了3K背景辐射以外,宇宙弥漫最广阔的电磁辐射。从复合纪元(recombination)至再电离纪元(reionization)之间的天文学研究,只能依靠观测21公分谱线无线电波。
给予几个磁偶极矩,则按照叠加原理,其总磁场是每一个磁偶极矩的磁场的总矢量和。
处于外磁场的磁偶极子
磁偶极子感受到的磁力矩
如图右,假设载有电流
的一个方形循环处于外磁场
。方形循环四个边的边长为
,其中两个与
平行的边垂直于外磁场,另外两个边与磁场之间的夹角角弧为
。
垂直于外磁场的两个边所感受的磁力矩为
。
另外两个边所感受的磁力矩互相抵消。注意到这循环的磁偶极矩为
。所以,这循环感受到的磁力矩为
。
令载流循环的面积趋向于零、电流趋向于无穷大,同时保持
不变,则这载流循环趋向于理想磁偶极子。所以,处于外磁场的磁偶极子所感受到的磁力矩也可以用上述方程表示。
当磁偶极矩垂直于磁场时,磁力矩的大小是最大值
;当磁偶极矩与磁场平行时,磁力矩等于零。
磁偶极子的势能
将载流循环从角弧
扭转到角弧
,磁场所做的机械功
为
。
注意到磁力矩的扭转方向是反时针方向,而
是朝着顺时针方向递增,所以必须添加一个负号。设定
,则
。
对抗这磁场的磁力矩,将载流循环从角弧
扭转到角弧
,所做的机械功
为
。
定义载流循环的势能
等于这机械功
,以方程表示为
。
与前段所述同理,磁偶极子的势能也可以用这方程表示。当磁偶极矩垂直于磁场时,势能等于零;当磁偶极矩与磁场呈相同方向时,势能是最小值
;当磁偶极矩与磁场呈相反方向时,势能是最大值
。
非均匀磁场
假设外磁场为均匀磁场,则作用于载流回路
的磁场力等于零:
。
假设外磁场为非均匀的,则会有一股磁场力,作用于磁偶极子。依照磁矩模型的不同,求得的磁场力也会不同[6]。采用常见的“电流模型”,则一个磁偶极子所感受到的磁场力为
。
另外一种采用“磁荷模型”。这类似电偶极矩的模型,计算出的磁场力为
。
两者之间的差别为
。
假设,电流等于零,电场不含时间,则根据麦克斯韦-安培方程,
,
两种模型计算出来的磁场力相等。可是,假设电流不等于零,或电场为含时电场,则两种模型计算出来的磁场力不相等。1951年,两个不同的实验,研究中子的散射于铁磁性物质,分别得到的结果与电流模型预估的结果相符合[6]。
范例
圆形载流循环的磁偶极矩
一个载流循环的磁偶极矩与其面积和所载电流有关。例如,载有1安培电流,半径
为0.05米的单匝圆形载流循环,其磁偶极矩为:
。
磁偶极矩垂直于载流循环的平面。载流循环的磁矩,可以用来建立以下几点论据:
- 假设场位置的距离
超远于循环半径
,则磁场会呈反立方减弱:
- 沿着循环的中心轴,磁矩与场位置
平行:
。
- 在包含循环的平面的任意位置,磁矩垂直于场位置:
。
- 负号表示平面任意位置案例与中心轴案例,这两个案例的磁场呈相反方向。
- 假设在地球的某地方,地磁场
的数值大约为0.5 高斯(5×10−5 特斯拉),而且循环磁矩垂直于地磁场
,则此循环所感受到的力矩为
。
- 应用力矩的观念,可以制造出罗盘。假设这罗盘的磁针,由于力矩的作用,从磁针的磁矩垂直于地磁场
,旋转至磁针的磁矩与地磁场
呈相同方向,则这罗盘-地球系统释放出的能量
为
。
- 由于罗盘悬浮系统的摩擦机制,这能量是以热量的形式耗散净尽。
螺线管的磁矩
一个多匝线圈(或螺线管)的磁矩是其每个单匝线圈的磁矩的矢量和。对于全同匝(单层卷绕),只需将单匝线圈的磁矩乘以匝数,就可得到总磁矩。然后,这总磁矩可以用来计算磁场,力矩,和储存能量,方法与使用单匝线圈计算的方法相同。
假设螺线管的匝数为
,每一匝线圈面积为
,通过电流为
,则其磁矩为
。
载电粒子圆周运动的磁矩
假设,一个点电荷
以等速
绕着z-轴,移动于半径为
的平面圆形路径,则其电流为[7]
。
其磁矩为
。
其角动量
为
。
其中,
是载电粒子的质量。
所以,磁矩与角动量的经典关系为
。
对于电子,这经典关系为
;
其中,
是电子的质量,
是电子的绝对电量。
假设,这点电荷是个束缚于氢原子内部的电子。由于离心力等于库仑吸引力,
;
其中,
是电常数。
现在施加外磁场
于此氢原子,则会有额外的洛伦兹力作用于电子。假设轨道半径不变(这只是一个粗略计算),只有电子的速度改变为
,则
。
所以,
。
假设,两个速度的差别
超小,则
。
所以,由于施加外磁场
,磁矩的变化为
。
注意到
与
呈相反方向,因而减弱了磁场。这是抗磁性的经典解释。可是,抗磁性是一种量子现像,经典解释并不正确。
为了简略计算,使用半经典方法[8],可以求出磁矩的变化为
;
其中,
是半径平方的期望值。
电子的磁矩
电子和许多其它种类的粒子都具有内禀磁矩。这是一种量子属性,涉及到量子力学。详尽细节,请参阅条目电子磁偶极矩(electron magnetic dipole moment)。微观的内禀磁矩集聚起来,形成了巨观的磁效应和其它物理现象,例如电子自旋共振。
电子的磁矩是
;
其中,
是电子的朗德g因子,
是玻尔磁子,
是电子的自旋角动量。
按照前面计算的经典结果,
;但是,在狄拉克力学里,
;更准确地,由于量子电动力学效应,它的实际値稍微大些,
。
请注意,由于这方程内的负号,电子磁矩与自旋呈相反方向。对于这物理行为,经典电磁学的解释为:假想自旋角动量是由电子绕着某旋转轴而产生的。因为电子带有负电荷,这旋转所产生的电流的方向是相反的方向,这种载流回路产生的磁矩与自旋呈相反方向。同样的推理,带有正电荷的正子(电子的反粒子),其磁矩与自旋呈相同方向。
原子的磁矩
在原子内部,可能会有很多个电子。多电子原子的总角动量计算,必须先将每一个电子的自旋总和,得到总自旋,再将每一个电子的轨角动量总和,得到总轨角动量,最后用角动量耦合(angular momentum coupling)方法将总自旋和总轨角动量总和,即可得到原子的总角动量。原子的磁矩
与总角动量
的关系为[9]
;
其中,
是原子独特的朗德g因子。
磁矩对于磁场方向的分量
是
;
其中,
是总角动量对于磁场方向的分量,
是磁量子数,可以取2J+1个整数値,-J、 -J+1、…、J-1、J,之中的任意一个整数值。
因为电子带有负电荷,所以
是负值。
处于磁场的磁偶极子的动力学,不同于处于电场的电偶极子的动力学。磁场会施加力矩于磁偶极子,迫使它依著磁场线排列。但是,力矩是角动量对于时间的导数。所以,会产生自旋进动,也就是说,自旋方向会改变。这物理行为以方程表达为
;
其中,
是回转磁比率(gyromagnetic ratio) ,
是磁场。
注意到这方程的左手边项目是角动量对于时间的导数,而右手边项目是力矩。磁场又可分为两部分:
;
其中,
是有效磁场(外磁场加上任何自身场),
是阻尼系数。
这样,可以得到兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程(Landau–Lifshitz–Gilbert equation)[10]:
。
方程右边第一个项目描述磁偶极子绕着有效磁场的进动,第二个项目是阻尼项目,会使得进动渐渐减弱,最后消失。兰道-李佛西兹-吉尔伯特方程是研究磁化动力学最基本的方程之一。
原子核的磁矩
核子系统是一种由核子(质子和中子)组成的精密物理系统。自旋是核子的量子性质之一。由于原子核的磁矩与其核子成员有关,从核磁矩的测量数据,更明确地,从核磁偶极矩的测量数据,可以研究这些量子性质。
虽然有些同位素原子核的激发态的衰变期超长,大多数常见的原子核的自然存在状态是基态。每一个同位素原子核的能态都有一个独特的、明显的核磁偶极矩,其大小是一个常数,通过细心设计的实验,可以测量至非常高的精确度。这数值对于原子核内每一个核子的独自贡献非常敏感。若能够测量或预测出这数值,就可以揭示核子波函数的内涵。现今,有很多理论模型能够预测核磁偶极矩的数值,也有很多种实验技术能够进行原子核测试。
分子的磁矩
任何分子都具有明确的磁矩。这磁矩可能会跟分子的能态有关。通常而言,一个分子的磁矩是下列贡献的总和,按照典型强度从大至小列出:
- 假若有未配对电子,则是其自旋所产生的磁矩(顺磁性贡献)
- 电子的轨域运动,处于基态时,所产生常与外磁场成正比的磁矩(抗磁性贡献)
- 依照核自旋组态,核自旋所产生的总磁矩。
分子磁性范例
- 氧分子,O2,由于其最外面的两个未配对电子的自旋,具有强顺磁性。
- 二氧化碳分子,CO2,由于电子轨域运动而产生的,与外磁场成正比的,很微弱的磁矩。在某些稀有状况下,假若这分子是由具磁性的同位素组成,像13C或17O,则此同位素原子核也会将其核磁性贡献给分子的磁矩。
- 氢分子,H2,处于一个弱磁场(或零磁场),会显示出核磁性。氢分子的两种自旋异构体,正氢或仲氢,都具有这种物理性质。
参考文献
- ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
- ^ Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd, Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X
- ^ 美国国家标准与技术研究院(NIST)的实验値:电子磁矩 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- ^ 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants網頁:. [2010-04-10]. (原始内容存档于2009-08-22).
- ^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF), American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-04-11], (原始内容存档 (PDF)于2020-05-12)
- ^ 6.0 6.1 Boyer, Timothy H., The Force on a Magnetic Dipole (PDF), American Journal of Physics, 1988, 56 (8): pp. 688–692, doi:10.1119/1.15501 [永久失效链接]
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 260–262, 1998, ISBN 0-13-805326-X
- ^ O'Dell, S. L.; Zia, R. K. P., Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts (PDF), American Journal of Physics, Jan 1986, 54 (1): pp. 32–35 [永久失效链接]
- ^ RJD Tilley, Understanding Solids, John Wiley and Sons: pp. 368, 2004, ISBN 0470852755
- ^ Stuart Alan Rice, Advances in chemical physics 128, Wiley: pp. 208 ff, 2004, ISBN 0471445282