示性函数 (凸分析)

在数学领域的凸分析中，集合的“示性函数”为凸函数，用于表示给定元素是否为该集合的成员（或非成员）。尽管与常规示性函数定义相似，两者也可以相互转换，但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。

定义

假设 ${\displaystyle A}$ 为集合 ${\displaystyle X}$ 的子集。 ${\displaystyle A}$ 的 “示性函数”

${\displaystyle \chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$

在扩展实数线上的值定义为

${\displaystyle \chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}}$

与指示函数的关系

令 ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R} }$ 为一般指示函数：

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A;\\0,&x\not \in A.\end{cases}}}$

若采用如下约定

• 对于任意${\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$， ${\displaystyle a+(+\infty )=+\infty }$ 以及 ${\displaystyle a(+\infty )=+\infty }$；
• ${\displaystyle {\frac {1}{0}}=+\infty }$；且
• ${\displaystyle {\frac {1}{+\infty }}=0}$；

那么，指示函数与示性函数满足如下关系

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}}$

同时，

${\displaystyle \chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right).}$

参考文献

• Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6.