空间对称群
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一个对象(如一维、二维或三维中的图像或信号)的对称群是指在复合函数运算下不变的所有等距同构所构成的群。其为所考虑之空间的等距同构群中的一个子群。
(若没有另外注明,则本文只考虑在欧几里得空间内的对称群,但此一概念亦可以被应用在更广义的用途上,详见下文。)
“对象”可以是几何形状、图像及模式,如壁纸图样(英语:Wallpaper group)。其定义能够以详述图像或模式的方式,如将位置附上一组颜色的值的函数,来使其更为精确。对如三维物体的对称,可能亦会想要考量其物理上可能的组合。空间中等距同构的群可以产生一个作用于此群本身对象上的群作用。
对称群有时亦称为全对称群,以强调其会产生一个图像不会改变的反转定位之等距同构(如镜射、滑移镜射(英语:Glide reflection)和不纯旋转)。会保留其定位之同距同构(如平移、旋转和此两者的组合)的子群则称为其纯对称群。一对象的纯对称群若等同于其全对称群,则称此对象为对掌的(也因此不存在使其不变的反转定位之等距同构。)
任何其元素有着相同个不动点的对称群都可以由选定其原点为不动点来被表示成一个正交群O(n)的子群,其对所有的有限对称群及有界图像之对称群皆为真的。
离散对称群可以分成三种类型:
- 有限点群,其包含有旋转、镜射、反演和不纯旋转,且实际上只是正交群O(n)的子群;
- 无限晶格(英语:Lattice (group))群,其包括平移;
- 无限空间群,其结合有上述两种类型的元素,且亦包含有如螺旋轴(英语:screw axis)和滑移镜射(英语:Glide reflection)等额外的对称。
另外亦有着包含任意小角度的旋转或任意小距离的平移之“连续”对称群。一个球面O(3)的所有对称所组成的群即是一种连续对称群,而通常如此类的连续对称的群是在李群中所研究的对象。 对欧几里得群子群的分类会对应到对称群的分类。
两个几何形状被认为是有着相同的对称型,若其对称群为欧几里得群E(n)(Rn的等距同构群)的共轭群,其中一个群G的两个子群H1和H2为共轭的,若存在一G内的元素g能使得H1=g-1H2g。例如:
- 两个三维图形有着镜面对称,但对应着不同的镜面。
- 两个三维图形有着旋转对称,但对应着不同的旋转轴。
- 两个二维图形有着平移对称,各在各的方面;此两者有着长度相同但方向不同的平移向量。
有时,“相同对称型”更广义的概念会被使用,而可以产生如17个壁纸群之类的类型。
当考虑等距同构群时,可以将其缩限在于等距同构下之图像的点皆为拓扑闭合的。如此便排除了如一维中以有理数之距离平移所构成的群。一个具有对称群的“图像”是不可伸缩的,且即使达到任意详尽的均匀,亦不会有真正的均匀。