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算符

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物理学里,算符(operator),又称算子,作用于物理系统的状态空间,使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂,需要用很多方程来表明,假若能够使用算符来代表,可以更为简单扼要地表达论述。

对于很多案例,假若作用的对象有所迥异,算符的物理行为也会不同;但是,对于有些案例,算符的物理行为具有一般性,这时,就可以将论题抽象化,专注于研究算符的物理行为,不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性守恒定律的论题。因此,在经典力学里,算符是很有用的工具。在量子力学里,算符为理论表述不可或缺的要素。

对于更深奥的理论研究,可能会遇到很艰难的数学问题,算符理论(operator theory)能够提供高功能的架构,使得数学推导更为简洁精致、易读易懂,更能展现出内中物理涵意。

一般而言,在经典力学里的算符大多作用于函数,这些函数的参数为各种各样的物理量,算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”,作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。

经典力学

经典力学里,粒子(或一群粒子)的动力行为是由拉格朗日量哈密顿量决定;其中,分别是广义坐标广义速度共轭动量是时间。

假设拉格朗日量或哈密顿量与某广义坐标无关,则当有所改变时,仍旧会保持不变,这意味着粒子的动力行为也会保持不变,对应于的共轭动量守恒。对于广义坐标的改变,动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里,当研读有关对称性的课题时,算符是很有用的工具。

特别而言,假设对于某种的变换运算,物理系统的哈密顿量是个不变量;也就是说,假设

在这案例里,所有的元素都是物理算符,能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态;尽管作用于这物理系统,哈密顿量守恒不变。

举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符”能够将粒子从坐标为移动至坐标为,以方程表示:

其中,是描述一群粒子的密度函数。

给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统,则尽管的作用,这物理系统的哈密顿量是个不变量,对应于坐标的动量守恒。

经典力学算符表格

算符 标记 位置 动量
平移算符
时间演化算符
旋转算符
伽利略变换算符
宇称算符
时间反演算符
  • 旋转矩阵是旋转轴矢量,是旋转角弧。

生成元概念

对于一个微小的平移变换,猜测平移算符的形式为

其中,是“单位算符”──变换单位元是微小参数,是专门用来设定平移变换生成元

为了简化论述,只考虑一维案例,推导平移于一维空间的生成元。将平移算符作用于函数

由于很微小,可以泰勒近似

重写平移算符的方程为

其中,导数算符是平移群的生成元。

总结,平移群的生成元是导数算符。

指数映射

在正常状况下,通过指数映射,可以从生成元得到整个。对于平移于空间这案例,重复地做次微小平移变换,来代替一个有限值为的平移变换

现在,让变得无穷大,则因子趋于无穷小:

这表达式的极限为指数函数:

核对这结果的正确性,将指数函数泰勒展开幂级数

这方程的右手边可以重写为

这正是泰勒级数,也是的原本表达式结果。

物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容,请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理(Gelfand-Naimark theorem)。

量子力学

量子力学里,算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态矢量设定,态矢量是矢量空间单位范数矢量。在矢量空间内,量子算符作用于量子态,使它变换成另一个量子态。由于物体的态矢量范数应该保持不变,量子算符必须是幺正算符[来源请求]。假若变换前的量子态与变换后的量子态,除了乘法数值以外,两个量子态相同,则称此量子态为本征态,称此乘法数值为本征值[1]:11-12

物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量,都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释,每一次测量的结果只能是其中的一个本征值,而且,测得这本征值的机会呈概率性,量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。[2]:106-109

量子算符

假设,物理量是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符可能有很多不同的本征值与对应的本征态,这些本征态,形成了具有正交归一性基底[2]:96-99

其中,克罗内克函数

假设,某量子系统的量子态为

其中,是复系数,是在里找到概率幅[1]:50

测量这动作将量子态改变为本征态的概率为,测量结果是本征值的概率也为

期望值

在量子力学里,重复地做同样实验,通常会得到不同的测量结果,期望值是理论平均值,可以用来预测测量结果的统计平均值。

采用狄拉克标记,对于量子系统的量子态,可观察量的期望值定义为[1]:24-25

其中,是对应于可观察量的算符。

将算符作用于量子态,会形成新量子态

从左边乘以量子态,经过一番运算,可以得到

所以,每一个本征值与其概率的乘积,所有乘积的代数和,就是可观察量期望值

将上述定义式加以推广,就可以用来计算任意函数的期望值:

例如,可以是,即重复施加算符两次:

对易算符

假设两种可观察量的算符分别为,它们的对易算符定义为

对易算符是由两种算符组合而成的复合算符,当作用于量子态时,会给出

假设,则称这两种可观察量为“相容可观察量”,否则,,称这两种可观察量为“不相容可观察量”。

假设两种可观察量为不相容可观察量,则由于不确定原理,绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题,不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验,装备足够优良的测量仪器,则对于某些量子系统,测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。[3]

厄米算符

每一种经过测量而得到的物理量都是实值,因此,可观察量的期望值是实值:

对于任意量子态,这关系都成立:

根据伴随算符的定义,假设的伴随算符,则。因此,

这正是厄米算符的定义。所以,表现可观察量的算符,都是厄米算符。[2]:96-99

矩阵力学

应用基底的完备性,添加单位算符于算符的两旁,可以得到[1]:20-23

其中,是求和式内每一个项目的系数。

所以,量子算符可以用矩阵形式来代表:

算符与它的伴随算符彼此之间的关系为

所以,分别代表这两个算符的两个矩阵,彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符,代表的矩阵是个实值的对称矩阵

用矩阵代数来计算算符怎样作用于量子态,假设系统因此变换为量子态

从左边乘以本征态,应用基底的完备性,添加单位算符于算符的右边,可以得到

右矢分别用竖矩阵来代表

    

两个竖矩阵彼此之间的关系为

假设算符是厄米算符,则其所有本征态都相互正交。[4]以矩阵来代表算符,可以计算出一组本征值与对应的本征态,每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质,可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式,就可以找到本征值

量子算符表格

在这表格里,算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间,则表示出的方程会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符,不是单位矢量。

算符名称 直角坐标系分量表示 矢量表示
位置算符
动量算符 一般状况

一般状况

电磁场

电磁场(磁矢势

动能算符 平移运动

平移运动

电磁场

电磁场(磁矢势

旋转运动(转动惯量

旋转运动

势能算符 N/A
总能量算符 N/A 含时位势:

不含时位势:

哈密顿算符 N/A
角动量算符
自旋算符

其中,

自旋1/2粒子的泡利矩阵

其中,矢量的分量是泡利矩阵。

总角动量算符
跃迁矩(电)
(transition moment)

范例

位置算符

只思考一维问题,将位置算符施加于位置本征态,可以得到本征值,即粒子的位置:[5]:220-221

由于位置基底具有完整性,任意量子态可以按着位置本征态形成的基底展开:

将位置算符施加于量子态,由于算符只作用于右矢,与其它数学个体无关,可以移入积分式内:

左矢与这方程的内积为

设定量子态。由于位置基底具有完整性,量子态的内积,可以按着位置本征态形成的基底展开为

将这两个积分式加以比较,立刻可以辨识出全等式

设定量子态。量子态的位置空间表现,即波函数,分别定义为

两个波函数之间的关系为

总结,位置算符作用于量子态的结果,表现于位置空间,等价于波函数的乘积

动量算符

表现于位置空间,一维动量算符为

将动量算符施加于量子态,可以得到类似前一节得到的结果:

应用位置基底所具有的完整性,对于任意量子态,可以得到更广义的结果:

其中,分别是量子态表现于位置空间的波函数

假设的本征态,本征值为,则可得到

改写为本征值为的本征态,方程改写为

这微分方程的解析解为

所以,动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛定谔方程,就可以推导求得这出结果。[1]:50-54

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  3. ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358 
  4. ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
  5. ^ 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修, 费曼物理学讲义III量子力学(3)薛丁格方程式, 台湾: 天下文化书: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2 
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