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素性测试

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素性测试素数判定,是检验一个给定的整数是否为素数的测试。

素数

素数是除了自身和1以外,没有其它素数因子的自然数。自从欧几里得证明了有无穷个素数以后,人们就企图寻找一个可以构造所有素数的公式,寻找判定一个自然数是不是素数的方法。因为素数的地位非常重要。

素数判定的历史

鉴别一个自然数是素数还是合数,这个问题在中世纪就引起人们注意,当时人们试图寻找质数公式,到了高斯时代,基本上确认了简单的质数公式是不存在的,因此,高斯认为对素性判定是一个相当困难的问题。从此以后,这个问题吸引了大批数学家。 素性判断算法可分为两大类,确定性算法及随机算法。前者可给出确定的结果但通常较慢,后者则反之。详见以下列表。

确定型算法

  • 试除法(埃拉托斯特尼筛法
    • 尝试从 的整数是否整除
// 以 C 語言實現埃拉托斯特尼篩法
// 用以判斷質數的 is_prime 副函式
int is_prime(int x)
{
    if(x < 2) return 0;            // 1 不是質數,且不考慮負整數與 0,故輸入 x<=1 時回傳 0
    for(int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if(x % i == 0) return 0;    // 一旦出現整除,回傳 0
    return 1;                       // 迴圈跑完後都沒有整除,回傳 1
}

随机算法

  • 费马素性检验
  • 米勒-拉宾检验
  • 欧拉-雅科比测试
    • 对于n,挑选随机的,测试,这里为雅可比符号。如果N为素数,等式一定成立;如果N为合数,等式有一半的概率不成立。

参见

外部链接

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