索博列夫不等式 - Wikiwand
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索博列夫不等式

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数学分析中有一类关于Sobolev空间中的范数的Sobolev不等式。 这些不等式可以用于证明Sobolev嵌入定理,给出某些Sobolev空间的包含关系。而Rellich-Kondrachov定理英语Rellich–Kondrachov theorem指出在稍强的条件下,一些Sobolev空间可以被紧嵌入英语Compact embedding到另一个空间。 这类不等式得名于谢尔盖·利沃维奇·索博列夫

Sobolev嵌入定理

W k,p(Rn)表示包含Rn上所有满足前k阶弱导数属于Lp的实值函数的Sobolev空间。其中k是非负整数且有1 ≤ p < ∞。Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果 k > 1 ≤ p < q < ∞满足(k)p < n

那么

并且该嵌入连续。在k = 1 = 0的特殊情形,Sobolev嵌入定理给出

其中p是p的Sobolev共轭英语Sobolev conjugate,如下给出

这个Sobolev嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接得出。

Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间C r,α(Rn)。如果(krα)/n = 1/p其中α ∈ (0, 1),则有嵌入

Sobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。直观的说,这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。

推广

Sobolev嵌入定理对于有其他适当定义域M的Sobolev空间W k,p(M)也成立。特别的[1][2],Sobolev嵌入的两个部分在满足下列条件时成立

  • M是Rn上有Lipschitz边界的有界开集(或者边界满足锥条件[3]
  • M是黎曼流形
  • M是有Lipschitz边界的紧带边黎曼流形
  • M是满足单射半径δ > 0截面曲率有界的完备黎曼流形。

Kondrachov嵌入定理

在有C1边界的紧流形上,Kondrachov嵌入定理指出如果k > kn/p > n/q则Sobolev嵌入

是全连续(紧)的。

Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式

假设u是Rn上拥有紧支集的连续可微实值函数。对于1 ≤ p < n存在常数C只依赖于n和p使得

其中1/p* = 1/p - 1/n。的情形由Sobolev给出, 的情形由Gagliardo和Nirenberg独立给出。Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接导出Sobolev嵌入

Rn上其他阶的嵌入可由适当的迭代得到。

Hardy–Littlewood–Sobolev引理

Sobolev给出的Sobolev嵌入定理的最初的证明基于如下定理,有时被称为Hardy–Littlewood–Sobolev分数次积分定理。一个等价陈述被称为Sobolev引理[1][4]

0 < α < n1 < p < q < ∞。令Iα = (−Δ)α/2是 Rn上的Riesz势。那么,对于q如下定义

存在常数C只依赖于p使得

如果p = 1,则有两个替代估计。第一个是更经典的弱估计:


其中1/q = 1 − α/n。另一个估计是

其中是向量值Riesz变换[5]。Riesz变换的有界性意味着一族不等式可由上述不等式统一表达。

Hardy–Littlewood–Sobolev引理导出Sobolev嵌入本质上是利用Riesz变换和Riesz势的关系。

Morrey不等式

假设n < p ≤ ∞。存在常数C只依赖于p和n,使得

对所有uC1(Rn) ∩ Lp(Rn),其中

因此如果uW 1,p(Rn),则u在一个零测集上重新定义后,实际上为指数γ的Hölder连续。

一个类似的结果在带有C1边界的有界定义域U上成立。此时,

其中常数C现在依赖于n, p和U。这一不等式可由前一不等式利用从W 1,p(U)W 1,p(Rn)的保范延拓得到。

一般Sobolev不等式

令U为Rn上带有C1边界的有界开集。(U也可以无界,但这种情况下,它的边界如果存在,则必须是充分好的。)假设uW k,p(U),考虑两种情况:

k < n/p

这时uLq(U),其中

有估计

,

常数C只依赖于k, p, n和U。

k > n/p

这里u属于Hölder空间,更精确的:

其中

有估计

常数C只依赖于k, p, n, γ和U。

情形

如果,则u是有界平均振动函数且有

对于某个常数C只依赖于n。这个估计是庞加莱不等式的推论。

纳什不等式

纳什不等式,由约翰·纳什[6]引入,指出存在一个常数C > 0,满足对所有uL1(Rn) ∩ W 1,2(Rn),

这个不等式由傅立叶变换的基本性质导出。实际上,在半径为ρ的球的补集上的积分,

 

 

 

 

(1)

帕塞瓦尔定理。另一方面,有

,在半径为ρ的球上的积分给出

 

 

 

 

(2)

其中ωnn维球的体积。选择ρ最小化(1)和(2)的和,再次使用帕塞瓦尔定理:

给出不等式。

n = 1的特殊情形,纳什不等式可以扩展到Lp情形,此时是Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的推广。实际上,如果I是有界区间,则对所有1 ≤ r < ∞和所有1 ≤ qp < ∞如下不等式成立

其中

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Aubin, Thierry, Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 252, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90704-8, MR 681859 
  2. ^ Aubin, Thierry, Espaces de Sobolev sur les variétés riemanniennes, Bulletin des Sciences Mathématiques. 2e Série, 1976, 100 (2): 149–173, ISSN 0007-4497, MR 0488125 
  3. ^ Adams, Robert A., Sobolev spaces, Pure and Applied Mathematics, 65., New York-London: Academic Press: xviii+268, 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, MR 0450957 
  4. ^ Stein, Elias, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8 
  5. ^ Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean, An L^1-type estimate for Riesz potentials, arXiv:1411.2318 
  6. ^ Nash, J., Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations, Amer. J. Math. (American Journal of Mathematics, Vol. 80, No. 4), 1958, 80 (4): 931–954, JSTOR 2372841, doi:10.2307/2372841 
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