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网 (数学)

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拓扑学数学的相关领域里,序列的广义化,用来统一极限不同的概念和将其广义至任意的拓扑空间。网的极限对一般拓扑空间扮演的角色,就好比序列的极限之于第一可数空间(例如度量空间)。

一个序列通常以为全序集合自然数做为索引。网广义化了此一概念,以把索引集合上的次序关系削弱成有向集合

网于公元1922年首次由E. H.摩尔与H. L. Smith提出。另一相关的概念-滤子则于公元1937年由昂利·嘉当所发展。

定义

X是一拓扑空间,X中的是指一由某一有向集合AX函数

A是一有向集合,通常会把由AX的网写成(xα),以用来表示A的元素α映射到X的元素xα上。通常用≥来标记由A所给定的二元关系。

例子

自然数是一有向集合且序列是定义域为自然数的函数时,每一序列都会是一个网。

另一重要例子如下。给定拓扑空间上的一点x,让Nx标记为所有包含x邻域的集合。然后,Nx会是个有向集合,其方向由内含的颠倒给定,即STS包含在T里时。对在Nx内的S,让xS标记为S内的一点。然后,xS便会是一个网。当S对≥而言为增加时,网内的点sS会被限制在x的递减邻域内,直观地说,这使得xS在某些意义上时必须趋向x。下面将把这一极限的概念讲述的更清楚。

网的极限

若(xα)是一由有向集合AX的网,且若YX的子集,则我们说(xα)是最终于'Y若存在一在A内的α能使得任一在A内会有β ≥ α的β,其点xβ会在Y内。

若(xα)是拓扑空间X内的一网,且xX的一元素,我们说这一个网收敛至x或称有极限x,并写做

lim xα = x

当且仅当

对任一x邻域U,(xα)会最终于U

直观地说,这表示xα会很靠近x,若α取得够大。

注意,上述所举的在一点x邻域系统上的网根据定义是会确实地收敛至x了。

网的极限的例子

  • 变数的函数极限:limxc f(x)。这里,我们根据距c的距离在集合R\{c}内取向。

追加定义

DE为有向集合,且h为一由DE的函数,则h被称为共尾,若对任一在E内的e,总存在一在D内的d会使得当qD的元素且qd时,h(q) ≥ e。换句地话,其值域h(D)会共尾E

DE为有向集合,h为由EE的共尾函数,且φ是以E为基的集合X的网,则φoh称做φ的子网。所有的子网都是这种类型,依其定义。

若φ是一以有向集合D为底的集合X的网,且AX的子集,则φ频繁地在A,当对于任一在D内的α,存在一在D的β且β ≥ α以使φ(β)在A内。

集合X的网φ称做普遍的(或超网),若对于任一X的子集A,φ会最终于A或会最终于X-A

性质

几乎所有拓扑概念都能以网与极限的语言表述。这可以作为直觉的南鍼,因为网的极限在概念上近于序列的极限,后者在度量空间理论中被广泛地运用。

  • 拓扑空间之间的函数在一点连续当且仅当对于每个网,若

则有

若将“网”换为“序列”,则此定理一般非真。当空间非第一可数时,必须考虑比自然数集更广的有向集。

  • 一般而言,空间的网可以有多个极限。当豪斯多夫空间时,极限是唯一的;反之,若非豪斯多夫空间,则存在中的一个网,使得它有两个不同极限,因此豪斯多夫性质可以用网的极限刻划。注意到此结果有赖于有向条件,以一般的预序或偏序为指标的集合仍可能有多个极限。
  • 给定子集合,则属于闭包若且为若存在网,使得而且为其极限。因此可以用网与极限刻划闭包运算,从而刻划开集与闭集。
  • 乘积空间中的网的极限由其投影决定:若,则当且仅当
  • 是连续函数,是超网,则亦然。

另见

滤子的理论也提供了在一般拓扑空间内有关收敛的定义。

一致空间(例如度量空间)中,可以将柯西序列的定义推广为柯西网,由此导出柯西空间的定义。网 (xα)是柯西网,如果对于所有周围V存在γ使得对于所有α, β ≥ γ,(xα, xβ)是V的成员。

参考

E. H. Moore and H. L. Smith (1922). A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121.

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