线性化 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 线性化.

线性化

维基百科,自由的百科全书

数学上的线性化(linearization)是找函数在特定点的线性近似,也就是函数在该点的一阶泰勒级数。在动力系统研究中,线性化是分析非线性微分方程系统或是非线性离散系统,在特定平衡点局部稳定性的一种方法[1]。 此方法常应用在工程学物理学经济学生态学的应用中。

函数的线性化

函数的线性化为线性函数。针对函数,若要用在任意点下的值及其图形斜率来进行近似时,假设(或)区间内可微,且b邻近a,线性化是可以有效近似的方法。简单来说,线性化就是在点附近,以直线来近似函数的值。例如,那么针对,利用线性化就可能可以找到理想的近似公式。

针对任意函数在已知可微分点附近的位置,都可以被近似。最基本的要求是,其中的线性化。一次方程的图形会形成直线,例如通过点 ,斜率为为直线。方程式的一般形为

若是配合点即变成。因为可微分函数是局部线性,该点的斜率可以用在点切线的斜率来代替。

函数局部线性的意思也表示函数图形上的点可以任意接近,相对来说比较接近的点,其线性近似的效果也会比较好。斜率最准确的值会是在点的切线斜率。

f(x)=x^2在(x, f(x))的近似值
f(x)=x^2在(x, f(x))的近似值

旁边的图可以说明在点的切线。在位置,其中是小的正值或是负值,非常接近点的切线。

函数在点线性化的最终方程为:

针对。函数的导数为,而函数在点的斜率为

例子

若要找,可以用的资讯。函数在点的线性化为,因为函数定义了函数在点的斜率。

代入,其线性化结果为

针对的例子,可得近似。其实际值为2.00024998,非常接近,此线性化的误差小于1%的百万分之一。

多变数函数的线性化

函数在点线性化的方程式为:

多变数函数在点线性化的通式为

其中是变数向量,而是要线性化的点[2]

线性化的应用

配合线性化的技术,可以用研究线性系统的工具来分析非线性系统在特定点附近的行为。函数在特定点附近的线性化是在该点附近泰勒级数的一阶展开。针对以下的系统

,

其线性化系统为

其中是要观测的特定点,而在点所计算的雅可比矩阵

稳定性分析

自治系统稳定性分析中,可以用在双曲平衡点英语hyperbolic equilibrium point计算雅可比矩阵特征值来判断平衡点的特征。这就是线性化理论英语linearization theorem的内容。若是时变系统,其线性化需要考量其他的因素[3]

微观经济学

微观经济学中,决策规则英语decision rule可以用状态空间下线性化的作法来近似[4]。若以此方式分析,效用最大化欧拉方程可以在平稳稳态附近进行线性化[4]。所得动态方程的系统的唯一解即为其解[4]

最佳化

最优化中,成本函数以及非线性成分都可以线性化,以使用一些线性的求解方式(例如单纯形法)。最佳化的结果可以更有效率的产生,而且是决定性的全域极值

多物理场

多物理场系统(系统中有多个不同物理领域的模型,彼此互相影响)中,可以针对每一个物理领域进行线性化。针对每一个物理领域的线性化可以产生线性的monolithic方程系统,可以用monolithic的迭代来求解(例如牛顿法)。这类的例子包括MRI scanner英语MRI scanner系统,包括了电磁系统、力学系统及声学系统[5]

相关条目

参考资料

  1. ^ The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia. [2020-04-10]. (原始内容存档于2018-07-04). 
  2. ^ Linearization. The Johns Hopkins University. Department of Electrical and Computer Engineering 互联网档案馆存档,存档日期2010-06-07.
  3. ^ Leonov, G. A.; Kuznetsov, N. V. Time-Varying Linearization and the Perron effects. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007, 17 (4): 1079–1107. doi:10.1142/S0218127407017732. 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Moffatt, Mike. (2008) Dotdash State-Space Approach Economics Glossary; Terms Beginning with S. Accessed June 19, 2008.
  5. ^ Bagwell, S.; Ledger, P. D.; Gil, A. J.; Mallett, M.; Kruip, M. A linearised hp–finite element framework for acousto-magneto-mechanical coupling in axisymmetric MRI scanners. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2017, 112 (10): 1323–1352. doi:10.1002/nme.5559. 

外部链接

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
线性化
Listen to this article