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纤维丛

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纤维束fiber bundlefibre bundle)又称纤维丛,在数学上,特别是在拓扑学中,是一个局部看来像直积空间,但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛对应一个连续满射

E 和乘积空间 B × F 的局部类似性可以用映射 来说明。也就是说:在每个 E 的局部空间 ,都存在一个相同的FF 称作纤维空间),使得 限制在 上时 与直积空间 B × F 的投影  相似。(通常会用此满射:π : EB 来表示一个纤维丛,而忽略F

如果 ,也就是一个可以整体上等于乘积空间的丛叫做平凡丛(trivial bundle)。

纤维丛扩展了向量丛(vector bundle),向量丛的主要实例就是流形切丛(tangent bundle)。他们在微分拓扑微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

正式定义

一个纤维丛由四元组(E, B, π, F)组成,其中E, B, F 是拓扑空间而π : EB 是一个连续满射,满足下面给出的局部平凡(local triviality)条件。B 称为丛的基空间(base space),E 称为总空间(total space),而F 称为纤维(fiber)。映射π 称为投影映射.下面我们假定基空间B连通的。

我们要求对于B 中的每个点 x,存在一个在 B 中 包含 x 的开邻域U,并有一个同胚映射 φ:π−1U)→ U × F (显然 U × F 是一个乘积空间) ,φ 并且要满足 ,也就是下图是可交换的:

其中 proj1 : U × FU 是自然投影而 φ : π−1(U) → U × F 是一个同胚(这里的局部平凡条件有些书会定义为 )。所有{(Ui, φi)} 的集合称为丛的局部平凡化

对于 B 中每点 p,原象(preimage)π−1(p) 和 F 同胚并称为点 p 上的纤维.一个纤维丛(E, B, π, F)经常记为

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维丛 π : EB 都是一个开映射,因为积空间的投影是开映射。所以 B 有由映射π决定的商拓扑(quotient topology).

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形范畴内的纤维丛。也就是,E, B, F都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射

例子

E = B × F并令π : EB为对第一个因子的投影,则EB上的丛.这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛.

莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。
莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带(Möbius strip).莫比乌斯带是一个以为基空间B并以线段为纤维F的丛。对于一点的邻域是一段圆弧;在图中,就是其中一个方块的长。原象在图中是个(有些扭转的)切片,4个方块宽一个方块长。同胚φ把U的原象映到柱面的一块:弯曲但不扭转.

相应的平凡丛B × F看起来像一个圆柱,但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来;局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样(在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间)。

一个类似的非平凡丛是克莱因瓶,它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环,S1 × S1

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例,叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛(要成为一个向量丛,丛的结构群—见下面—必须是一个线性群)。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛余切丛

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n维球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛(例如黎曼流形的切丛),可以构造一个相应的单位球丛,其在一点x的纤维是所有Ex的单位向量的集合.

截面

纤维丛的截面(section或者cross section)是一个连续映射f : BE使得π(f(x))=x对于所有B中的x成立。因为丛通常没有全局有定义的截面,理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。

截面经常只被局部的定义(特别是当全局截面不存在时)。纤维丛的局部截面是一个连续映射f : UE其中U是一个B中的开集而π(f(x))=x对所有U中的x成立。若(U, φ)是一个局部平凡化图,则局部截面在 U上总是存在的。这种截面和连续映射UF有1-1对应。截面的集合组成一个(sheaf)。

结构群和转移函数

纤维丛经常有一个对称描述重叠的图之间的相容条件。特别的,令G为一个拓扑群,它连续的从左边作用在纤维空间F上。不失一般性的,我们可以要求G有效的作用在F上,以便把它看成是F同胚群。纤维丛的一个G-图册E, B, π, F)是之前定义过的局部平凡化并且满足:对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图(Ui, φi)和(Uj, φj)且 ,则函数

是由以下方式给出:

其中 是一个称为转移函数(transition function)的连续映射。两个G-图册是等价的如果他们的并集也是G-图册。一个G-丛是有G-图册等价类的纤维丛。群G称为该丛的结构群(structure group)。

在光滑范畴中,一个G-丛是一个光滑纤维丛,其中G是一个李群而相应的在F上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。

转移函数tij满足以下条件

第三个条件用到三个相交的 上叫做上链条件(cocycle condition,见Čech上同调)。

一个主丛是一个G-丛,其纤维可以认为是G本身,并且有一个在全空间上的G的右作用保持纤维不变。

参见

外部链接

参考

  • Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
  • David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.
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