线性代数基本定理维基百科,自由的 encyclopedia 线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解: A = U Σ V T {\displaystyle A=U\Sigma V^{T}\ } 对于矩阵 A ∈ R m × n {\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n}} ( A {\displaystyle A} 有 m {\displaystyle m} 行及 n {\displaystyle n} 列)产生了四个基本线性子空间: More information , 或 ... 子空间名字 定义 包含于 维数 基 列空间、值域或像 i m ( A ) {\displaystyle \mathrm {im} (A)} 或 r a n g e ( A ) {\displaystyle \mathrm {range} (A)} R m {\displaystyle \mathbf {R} ^{m}} r {\displaystyle r} U {\displaystyle \mathbf {U} } 的前 r {\displaystyle r} 列 左零空间或上核 k e r ( A T ) {\displaystyle \mathrm {ker} (A^{T})} 或 n u l l ( A T ) {\displaystyle \mathrm {null} (A^{T})} R m {\displaystyle \mathbf {R} ^{m}} m − r {\displaystyle m-r} U {\displaystyle \mathbf {U} } 的后 m − r {\displaystyle m-r} 列 行空间或余象 i m ( A T ) {\displaystyle \mathrm {im} (A^{T})} 或 r a n g e ( A T ) {\displaystyle \mathrm {range} (A^{T})} R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} r {\displaystyle r} V {\displaystyle \mathbf {V} } 的前 r {\displaystyle r} 列 零空间或核 k e r ( A ) {\displaystyle \mathrm {ker} (A)} 或 n u l l ( A ) {\displaystyle \mathrm {null} (A)} R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} n − r {\displaystyle n-r} V {\displaystyle \mathbf {V} } 的后 n − r {\displaystyle n-r} 列 Close Secondly: In R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} , k e r ( A ) = ( i m ( A T ) ) ⊥ {\displaystyle \mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }} , 也就是, 零空间与行空间的正交补相同. In R m {\displaystyle \mathbf {R} ^{m}} , k e r ( A T ) = ( i m ( A ) ) ⊥ {\displaystyle \mathrm {ker} (A^{T})=(\mathrm {im} (A))^{\perp }} , 也就是, 左零空间为列空间的正交补. 矩阵A的四个基本子空间. 子空间的维数遵从秩-零化度定理. 进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间 A : V → W {\displaystyle A\colon V\to W} 与 A ∗ : W ∗ → V ∗ {\displaystyle A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}} : A ∗ {\displaystyle A^{*}} 的核与像是 A {\displaystyle A} 的上核与余象.
线性代数基本定理是秩为 r 的 m×n 矩阵A的奇异值分解: A = U Σ V T {\displaystyle A=U\Sigma V^{T}\ } 对于矩阵 A ∈ R m × n {\displaystyle A\in \mathbf {R} ^{m\times n}} ( A {\displaystyle A} 有 m {\displaystyle m} 行及 n {\displaystyle n} 列)产生了四个基本线性子空间: More information , 或 ... 子空间名字 定义 包含于 维数 基 列空间、值域或像 i m ( A ) {\displaystyle \mathrm {im} (A)} 或 r a n g e ( A ) {\displaystyle \mathrm {range} (A)} R m {\displaystyle \mathbf {R} ^{m}} r {\displaystyle r} U {\displaystyle \mathbf {U} } 的前 r {\displaystyle r} 列 左零空间或上核 k e r ( A T ) {\displaystyle \mathrm {ker} (A^{T})} 或 n u l l ( A T ) {\displaystyle \mathrm {null} (A^{T})} R m {\displaystyle \mathbf {R} ^{m}} m − r {\displaystyle m-r} U {\displaystyle \mathbf {U} } 的后 m − r {\displaystyle m-r} 列 行空间或余象 i m ( A T ) {\displaystyle \mathrm {im} (A^{T})} 或 r a n g e ( A T ) {\displaystyle \mathrm {range} (A^{T})} R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} r {\displaystyle r} V {\displaystyle \mathbf {V} } 的前 r {\displaystyle r} 列 零空间或核 k e r ( A ) {\displaystyle \mathrm {ker} (A)} 或 n u l l ( A ) {\displaystyle \mathrm {null} (A)} R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} n − r {\displaystyle n-r} V {\displaystyle \mathbf {V} } 的后 n − r {\displaystyle n-r} 列 Close Secondly: In R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} , k e r ( A ) = ( i m ( A T ) ) ⊥ {\displaystyle \mathrm {ker} (A)=(\mathrm {im} (A^{T}))^{\perp }} , 也就是, 零空间与行空间的正交补相同. In R m {\displaystyle \mathbf {R} ^{m}} , k e r ( A T ) = ( i m ( A ) ) ⊥ {\displaystyle \mathrm {ker} (A^{T})=(\mathrm {im} (A))^{\perp }} , 也就是, 左零空间为列空间的正交补. 矩阵A的四个基本子空间. 子空间的维数遵从秩-零化度定理. 进一步, 所有这些空间本质地定义于– 不必考虑基的选择 – 抽象向量空间, 算子, 对偶空间 A : V → W {\displaystyle A\colon V\to W} 与 A ∗ : W ∗ → V ∗ {\displaystyle A^{*}\colon W^{*}\to V^{*}} : A ∗ {\displaystyle A^{*}} 的核与像是 A {\displaystyle A} 的上核与余象.