向量空间是一群可缩放和相加的数学实域(如实数甚至是函数)所构成的特殊集合,其特殊之处在于缩放和相加后仍属于这个集合。这些数学实域被称为向量,而向量空间正是线性代数的主要研究对象。
Quick Facts 线性代数, 向量 ...
线性代数
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向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
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给定域 和某集合 ,它们具有了以下两种运算(函数):[1]
- 向量加法 (其中 惯例上简记为 )
- 标量乘法 (其中 惯例上简记为 甚至是 )
且这两种运算满足:(特别注意 和 是域 是本身具有的加法和乘法)
More information 存在 ...
名称
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前提条件 |
内容
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向量加法
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的单位元与逆元素
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存在 的元素 对所有
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有
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且存在 使得
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的结合律
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对所有 |
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的交换律
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对所有 |
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标量乘法
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的单位元
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对所有
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若 是 的乘法单位元,则
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对向量加法的分配律
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对所有 和所有 |
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对域加法的分配律
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对所有 和所有 |
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与域乘法 |
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这样称 “ 为定义在域 上的向量空间”,而 里的元素 被称为向量;域 里的元素 被称为标量。这样域 就是囊括所有标量的集合,所以为了解说方便,有时会将 昵称为标量域或是标量母空间。在不跟域的加法混淆的情况下,向量加法 也可以简写成 。
前四个条件规定 是交换群。上述的完整定义也可以抽象地概述成“ 是个域,且 是一个 模”。
研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下: