置换的奇偶性
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在数学中,当X是一个至少有两个元素的有限集合时,X的置换(即从X到X的双射)可分为大小相同的两类:奇置换与偶置换。如果X固定了任何一个全序,X的一个置换的奇偶性可以定义为中反向对个数的奇偶性。所谓反向对即X中二元组使得且。这里为置换中第位的元素。
一个置换的符号(sign或signature)记作sgn(σ):如果是偶数则定义为 +1,如果是奇数则定义为 -1。符号定义了对称群Sn的交错特征。置换的符号另一个更一般的符号为列维-奇维塔符号(),定义在X到X的所有映射上,而在非双射映射上取值为0。
置换的符号可以清晰地表达为
这里是中反向对的个数。或者,置换的符号也可通过对换分解定义为
这里m是分解中对换的个数。尽管这样一个分解不是惟一的,所有分解中对换个数的奇偶性是相同的,蕴含着置换的符号是良定义的。