群同构 - Wikiwand
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群同构

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抽象代数中,群同构是在两个群之间的函数,它以关照到了群运算的方式架设了在群的元素之间的一一对应。如果两个群之间存在一个同构,则这两个群叫做同构的。从群论的立场看,同构的群有相同的性质而不需要区分。

定义和符号

给定两个 (G, *) 和 (H, ),从 (G, *) 到 (H, ) 的群同构是从 GH双射群同态。这意味着群同构是双射函数 使得对于所有 G 中的 uv 有着

两个群 (G, *) 和 (H, ) 是同构的如果存在一个群同构。这写为:

经常使用简写符号。在关于群运算没有歧义的情况下,可以省略它:

有时甚至简写为 G = H。这种表示是否引起歧义或混淆依赖于上下文。例如,在这两个群是同一个群的子群的时候就不适合。参见后面的例子。

反过来说,给定群 (G, *)、集合 H双射 ,我们可以通过定义 制造一个群 (H, )。

如果 H = G 并且 = * 则双射是自同构

例子

  • 实数集带有加法的群 (,+) 同构于正实数集带有乘法的群 (+,×):

通过同构

(参见指数函数)。

  • 整数集带有加法的群 子群,而因子群 / 同构于绝对值为 1 的复数集带有乘法的群 :

同构给出为

对于所有

  • 克莱因四元群同构于 的两个复本的直积(参见模算术),并因此写为 。另一个符号是 Dih2,因为它是二面体群
  • 如果 (G, *) 是无限循环群,则 (G, *) 同构于整数集带有加法的群。从代数的观点看,这意味着所有整数的集合带有加法运算是唯一的无限循环群。

某些群可以依赖于选择公理证明是同构的,但在理论上不能构造出具体的同构。比如:

  • 群 (, +) 同构于所有复数带有加法的群 (, +)。
  • 非零复数集带有乘法的群 (*, ·) 同构于上面提及的群 S1

性质

  • 从 (G, *) 到 (H, ) 的同构的总是 {eG} 这里的 eG 是群 (G, *) 的单位元。
  • 如果 (G, *) 同构于 (H,),并且如果 G阿贝尔群H 也是。
  • 如果 (G, *) 是同构于 (H, ) 的有限群,这里 f 是同构,则如果 a 属于 G 并有 n,则 f(a) 也是。
  • 如果 (G, *) 是同构于 (H, ) 的局部有限群,则 (H, ) 也是局部有限群。
  • 前面的例子展示了同构总是保持“群性质”。

推论

从定义可以得出任何同构 将映射 G 的单位元到 H 的单位元,

并且映射逆元到逆元,

和更一般的,n 次幂到 n 次幂

对于所有 uG,并且逆映射 也是群同构。

“同构”关系满足等价关系的所有公理。如果 f 是在两个群 GH 之间的同构,则关于 G 的只与群结构有关的所有为真的事情都可以通过 f 转换成关于 H 的同样为真的陈述,反之亦然。

自同构

从群 (G,*) 到自身的同构叫做这个群的自同构。就是说这是双射 使得

自同构总是映射单位元到自身。共轭类在自同构下的像总是共轭类(同一个或另一个)。一个元素的像有同这个元素相同的阶。

两个自同构的复合也是自同构,并且群 G 的所有自同构的集合在复合运算下自身形成了一个群,即 G自同构群,指示为 Aut(G)。

对于所有阿贝尔群,至少有把群的元素替换为它的逆元的自同构。但是,在所有元素都等于它的逆元的群中这是一个平凡自同构,比如在克莱因四元群中。对于这种群三个非单位元的所有排列都是自同构,所以这个自同构群同构于 S3 和 Dih3

在对于素数 p 的 Zp 中,一个非单位元元素可以被替换为另一个,带有在其他元素中的相应变更。这个自同构群同构于 Zp − 1。例如,对于 n = 7,Z7 的所有元素乘以 3 再模以 7,是在这个自同构群中的一个 6 阶自同构,因为 36 = 1 ( modulo 7 ),而更低的幂不得出 1。因为这个自同构生成了 Z6。这里还有一个自同构有这个性质: Z7 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此这两个对应于 Z6 的元素 1 和 5,以这个次序或反过来。

Z6 的自同构群同构于 Z2,因为只有两个元素 1 和 5 的每一个能生成 Z6,所以除了单位元之外我们只能互换它们。

Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 的自同构群有阶 168,这可以如下这样找到。所有 23 - 1 = 7 个非单位元元素扮演相同的角色,所以我们可以选择让谁扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 23 - 21 = 6 中的任何一个都可以被选择来扮演 (0,1,0) 的角色。这确定了谁对应于 (1,1,0)。对 (0,0,1) 我们可以有 23 - 22 = 4 个选择,这就确定了余下的。因此我们有了 7 × 6 × 4 = 168 个自同构。它们对应于Fano平面的成员,它的 7 个点对应于 7 个非单位元元素。连接三个点的线对应于群运算: a, b 和 c 在一条线上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。参见在有限域上的一般线性群

对于阿贝尔群除了平凡的之外的所有自同构叫做外自同构

非阿贝尔群有非平凡的内自同构群,并可能也有外自同构。

参见

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