群的生成集合
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在抽象代数中,群 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表达为 S 的元素和它们的逆元中的有限多个元素的乘积。
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更一般的说,如果 S 是群 G 的子集,则 所生成的子群 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群,这意味着它是包含 S 元素的所有子群的交集;等价的说,<S> 是 G 中所有可以用 S 的元素和它们的逆元中的有限乘积表达的元素的子群。
如果 G = <S>,则我们称 S 生成 G;S 中的元素叫做生成元或群生成元。如果 S 是空集,则 <S> 是平凡群 {e},因为我们认为空乘积是单位元。
在 S 中只有一个单一元素 x 的时候,<S> 通常写为 <x>。在这种情况下,<x> 是 x 的幂的循环子群,我们称这个循环群是用 x 生成的。与声称一个元素 x 生成一个群等价,还可以声称它有阶 |G|,或者说 <x> 等于整个群 G。