艾克纳方程

艾克纳方程是质量守恒的定理，是有关河流中沉积物的质量守恒^[1]。最早是由奥地利气象学家及沉积物学家费利克斯·马力亚·埃克斯纳开始研究^[2]，艾克纳方程因此而得名^[3]。

艾克纳方程的重要性在于水深与斜度会影响其剪应力，从而引起地区侵蚀及堆积作用。

方程式

艾克纳方程描述河流在河流作用下，沉积物搬运（英语：Sediment transport）过程的质量守恒定理．河底的高度会随累积的沉积物而渐渐增加（河流淤积（英语：Aggradation）），会因沉积物随着河流清出而渐渐下降（陵夷作用）。

基础方程式

此方程提到河床高度${\displaystyle \eta }$随着时间${\displaystyle t}$的变化，等于沉积物通量散度的负值，除以颗粒填集密度（grain packing density）${\displaystyle \varepsilon _{o}}$的结果

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\nabla \cdot \mathbf {q_{s}} }$

其中 ${\displaystyle \varepsilon _{o}}$ 可以表示为 ${\displaystyle (1-\lambda _{p})}$，其中 ${\displaystyle \lambda _{p}}$ 为河床的孔隙率。

自然界 ${\displaystyle \varepsilon _{o}}$ 的范围约在0.45 至0.75之间^[4]，若是球形颗粒依随机密堆积（英语：Random close pack）的方式堆积，其数值约为 0.64，密堆积的上限为0.74048（参照最密堆积），但在自然界不太可能以最密堆积的方式堆积，因此多半是用随机密堆积的方式进行，这也是较合理的上限。

一维的艾克纳方程常会因为计算的方便或/及缺乏相关资料而出现。一般以是往下游的方向${\displaystyle x}$为准，因为一般关注的也是随着河流往下，河流的侵蚀作用及堆积作用

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}{\frac {\partial \mathbf {q_{s}} }{\partial x}}}$

包括高度因外力变化的方程式

此情形下的艾克纳方程会在质量守恒式子中包括地层下陷的项${\displaystyle \sigma }$^[5]，这允许在河床高度因外在因素影响时，计算河床的绝对高度${\displaystyle \eta }$对时间的变化，外在因素可能是地质构造或是地壳均衡造成的高度变化，若河床高度随时间增加，${\displaystyle \sigma }$ 为正值，若河床高度随时间减少增加，${\displaystyle \sigma }$为负值。

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-{\frac {1}{\varepsilon _{o}}}\nabla \cdot \mathbf {q_{s}} +\sigma }$

参考资料

1. C. Paola, V. R. Voller. A generalized Exner equation for sediment mass balance. Journal of Geophysical Research: Earth Surface. 2005-12-01, 110 (F4): n/a–n/a [2018-04-02]. ISSN 2156-2202. doi:10.1029/2004jf000274 （英语）.
2. M Hanif Chaudhry. Open-Channel Flow. Springer Science & Business Media. 16 November 2007: 463–. ISBN 978-0-387-68648-6.
3. Parker, G. (2006), 1D Sediment Transport Morphodynamics with applications to Rivers and Turbidity Currents, Chapter 1, http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh1IntroMorphodynamics.ppt （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
4. Parker, G. (2006), 1D Sediment Transport Morphodynamics with applications to Rivers and Turbidity Currents, Chapter 4, http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh4ConservationBedSed.ppt （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
5. C. Paola and V. R. Voller. A generalized Exner equation for sediment mass balance (PDF). [2015-07-12]. （原始内容 (PDF)存档于2015-07-13）.