艾森斯坦整数 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 艾森斯坦整数.

艾森斯坦整数

维基百科,自由的百科全书

艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。
艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。
各种各样的
基本

正数
自然数
正整数
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
代数数
实数
复数
高斯整数

负数
整数
负整数
分数
单位分数
二进分数
规矩数
无理数
超越数
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

二元数
四元数
八元数
十六元数
超实数
大实数
上超实数

双曲复数
双复数
复四元数
共四元数英语Dual quaternion
超复数
超数
超现实数

其他

素数
可计算数
基数
阿列夫数
同余
整数数列
公称值

规矩数
可定义数
序数
超限数
p进数
数学常数

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

艾森斯坦整数是具有以下形式的复数

其中ab整数,且

是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。

性质

艾森斯坦整数在代数数域中形成了一个代数数交换环。每一个z = a + bω都是首一多项式

的根。特别地,ω满足以下方程:

因此,艾森斯坦整数是代数数

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方,由以下的公式给出:

因此它总是整数。由于:

因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群,是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是:

{±1, ±ω, ±ω2}

它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数

xy是艾森斯坦整数,如果存在某个艾森斯坦整数z,使得y = z x,则我们说x能整除y

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念:一个非可逆元的艾森斯坦整数x是艾森斯坦素数,如果它唯一的因子是ux的形式,其中u是六次单位根的任何一个。

我们可以证明,任何一个被3除余1的素数都具有形式x2xy+y2,因此可以分解为(xy)(x2y)。因为这样,它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式,因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数a + bω,只要范数a2ab+b2为素数,那么就是一个艾森斯坦素数。实际上,任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式,要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域,其范数N由以下的公式给出:

这是因为:

参见

参考文献

  • Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
  • Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
  • Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
  • Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部链接

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
艾森斯坦整数
Listen to this article