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西罗定理

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数学里,尤其是在群论内,西罗(Sylow[1])定理(以彼得·卢德维格·梅德尔·西罗来命名,或称西洛定理)为一系列定理的总称。这些定理关于给定的有限群包含的固定阶子群的数目给出了详细的信息。这些定理在有限群论中起到了基础的作用,并且在有限单群分类中有重要应用。西罗定理假设了拉格朗日定理部分反面的情况。拉格朗日定理叙述了若H是一个有限群G子群,则H的阶会整除G的阶。西洛定理则保证,对于G之目的某些约数,会有对应此些约数的子群存在着,且会给出有关此类子群之数目的相关讯息。

定义

p是一个素数;则可定义G西罗p-子群(或者称为p-西罗子群),其为Gp-子群中最大的一个(即其为Gp-群,且不为其他Gp-子群的真子群)。

西罗p-子群所组成的集合记为Sylp(G)。 Sylp(G)之中群的差异在群论的讨论中是可以忽略的。更明确地说,在Sylp(G)内的每个群彼此间同构;这性质也同时回过头来决定了G的其他性质。

西罗定理

以下定理由挪威数学家彼得·卢德维格·梅德尔·西罗首次于1872年提出并证明,刊载于《Mathematische Annalen》中。

给定一有限群G,则可以将|G|可以写成pn s 的形式

其中|G|表示G的阶,n为正整数,且p不为s的素因数。

定理1存在一個階為pn的子群H,使得H為G的西羅p-子群。

下面的推论比起定理1较为狭义

推論對任意有限群G,及任意|G|的質因數p,則在G之中,存在一個階為p的元素。

上述推论又称作柯西定理,由柯西首次证明

定理2HG子群IG的p-西羅子群,其中|H|=pkk 為正整數,則存在一個G中的元素a使得aHa-1I的子群

从这可以推论出,所有G的西罗p-子群彼此共轭(且因共轭可得到同构),即若HK阶为G的西罗p-子群,则存在一个于G内的元素g,使得g−1Hg = K

定理3設np為G的西羅p-子群的数量且有

特别地是,上述表示著每个西罗p-子群都会有相同的目pn;相反地,若一个子群有pn目,则其为一个西罗p-子群,且会同构于每个其他的西罗p-子群。基于素数最大次方的条件,若HG的任一个p-子群,则H会为一个有pn目之p-子群的子群。

定理3的一个很重要结论为np=1的条件会等价于描述此一G的西罗p-子群是一个正规子群。(存在没有正规西罗子群但有正规子群的群,如S4。)

无限群的西罗定理

西罗定理有个对无限群的类比。可定义一个于无限群中的西罗p-子群为一个在所有群内之p-子群的内含关系内为极大的p-子群。因佐恩引理,这种子群存在。

定理:若K为一个G的西罗p-子群,且np = |Cl(K)|为有限的,则每一个西罗p-子群都会共轭于K,且np = 1 mod p,其中Cl(K)表示为K的共轭类。

应用例子

G为一个其目为15 = 3 · 5的群,则n3必须整除5,且n3=1 mod 3。其中唯一满足上述限制的值只有1;因此,只存在一个其目为3的子群,且其必须为正规子群(因为其没有其他的共轭)。相似地,n5会整除3,且n5=1 mod 5;因此亦只有一个其目为5的正规子群。当3和5为互素时,此两个子群的交集为当然群,所以G必须要是个循环群。因此,只存在一个其目为15的群(以同构来分),标记为Z/15Z

举另一个更复杂的例子来说,可证明不存在一个其目为350的简单群。若|G| = 350 = 2 · 52 · 7,则n5必须整除14=2·7,且n5 = 1 mod 5。因此,n5=1(因为6和11都不会整除14),而因此G必然会有一个其目为52的正规子群,故不可能为简单群。

西罗定理的证明

西罗定理的证明利用了群作用的许多概念。群G会以许多种方式作用在其自身或其p-子群上,而此类的每个作用则可以被利用来证明西罗定理的其中一个定理。下列的证明是基于1959年H.Wielandt所发表之整合的论述。在下面的论述中,用a|b来表示“a会整除b”,而a b则用来表示“a不可整除b”。

定理1:一个其目|G|可以被一素数次方pk整除的有限群G会有一个其目为pk的子群。

证明:设|G|=pkmpr m且 pr+1 m 。记Ω为G的元素个数为pk之子集所组成的集合,可知|Ω| = pr+1 ,基于之前r的选定。令G以左乘积作用于Ω上,则基于r之选定,会存在一个于Ω内的A,其具有一个会使pr+1 |θ|之轨道θ=AG。这里会有|θ| = |AG| = [G : GA]的关系,其中GA标示为集合A隐定子子群,因此pk | |GA|,故pk ≤ |GA|。注意在GA的作用下之于A内的两个元素aga可能为不同个的,所以|A| ≥ |GA|。由上述pk ≤ |GA|和|A| ≥ |GA|两个结果,故知|GA| = pk。然后,GA即为此一想要的群。

引论: 设G为一个有限p-群,将G作用于一个有限集合Ω上,及令Ω0为在G的作用下为固定之Ω内的点所组成之集合。然后可知|Ω| ≡ |Ω0| mod p

证明:将Ω写成在G下之轨道此种不相交集合的并集。每一个在Ω内的元素x若在G的作用下不固定的话,其将会在其目为|G|/|Gx|之轨道上(其中Gx隐定子),此目依题目的假设会是p的倍数(不可能为1,因为其目为1的轨道即为在G的作用下固定的点)。因此结论立即就出来了。

定理2:若HG子群且|H|=ps,以及PG的p-西罗子群,则存在一个在G内的元素a会使得aHa-1P的子群。特别地是,所有G的西罗p-子群都会共轭(且因此同构)于另一个,即若HKG的西罗p-子群,则存在一个G内的元素g会使得g−1Hg = K

证明:设Ω为GP的左陪集所组成的集合,及H以左乘积作用在Ω上。应用H于Ω上的引理,可知|Ω0| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定义可知p [G : P],所以p 0|,且因为|Ω0| ≠ 0,故会存在一些gP ∈ Ω0。因此对每个于H内的元素hhgP = gP,故g−1hgP = Pg−1hgP,且因此hgPg−1,故H会包含于某些G内元素ggPg−1内。若H为一个西罗p-子群,则|H| = |P| = |gPg−1|,因此对某些在G内的gH = gPg−1

定理3:设q为一有限群G的任一西罗p-子群的目,则np | |G|/qnp ≡ 1 mod p

证明:依定理2,np = [G : NG(P)],其中P为任一个子群且NG(P)为于GP正规化子,可知此数为|G|/q的约数。令Ω为所有G的西罗p-子群所组成的集合,且P以共轭作用于Ω上。设Q ∈ Ω0并可知对所有xPQ = xQx−1,因此PNG(Q)。依定理2,PQ会于NG(Q)内共轭,尤其是Q会在NG(Q)为正规,故可知P = Q。由上可知Ω0 = {P},因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod p

得到一个西罗子群

由一个给定的群中得出一个西罗子群是计算群论中一个很重要的问题。在置换群里,已由William Kantor证明出一个西罗p-子群可以在输入数量的多项式时间内被找到。

参考资料

  • Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
  • H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.

注释

  1. ^ 国际音标/syːlɯːʋ/
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