覆叠空间 - Wikiwand
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覆叠空间

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拓扑学中,拓扑空间覆叠空间是一对资料,其中是拓扑空间,连续满射,并存在的一组开覆盖

使得对每个,存在一个离散拓扑空间同胚,而且是对第一个坐标的投影。

满足上述性质的称为覆叠映射。当连通时,基数是个常数,称为覆叠的次数重数

空间的覆叠构成一个范畴,其对象形如,从态射是连续映射,且

例子

覆叠空间的例子:
  
    
      
        
          R
        
        →
        
          
            S
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1))
覆叠空间的例子:
  • 考虑映射。对任意,取其开邻域

由此可见是覆叠映射。

  • 莫比乌斯带的二重复叠空间是

性质

局部性质 对于任何一个覆叠都是一个局部同胚,这就是说,对任意的,都存在一个在C中的开邻域U,和p(c)在X中的开邻域V,使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的,则在整体上也成立,并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

万有覆叠空间

连通空间万有覆叠空间(若其存在)是范畴初始对象,换言之,对每个覆叠,存在唯一的连续映射使得。万有覆叠若存在则必唯一。之前的便是一例。

若要求局部道路连通且局部单连通,则万有覆叠空间存在。这类空间的主要例子有流形单纯复形。在同样前提下,覆叠是万有覆叠的充要条件是基本群

正则覆叠及主丛

以下同样要求连通、局部道路连通且局部单连通。对于覆叠映射,选定。在中的自同构群在纤维上的作用是自由的(即:是单射),对于的不同选取,此作用仅差个自然的同构。

的作用是传递的,则称正则覆叠。万有覆叠必正则,反之则不然。按照纤维丛的观点,覆叠空间正是离散纤维的纤维丛,正则覆叠对应到主丛

文献

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