在数学分析中,角谷不动点定理是一个适用于集值函数的不动点定理。它为在定义在欧几里德空间中的紧凸集上的集值函数提供具有不动点的充分条件,也即一个可以映射到包含自身的集合的点。角谷不动点定理是布劳威尔不动点定理的泛化。布劳威尔不动点定理是拓扑学的基础定理,它证明了定义在欧几里得空间的紧致,凸子集上的连续函数具有不动点。角谷静夫将此定理泛化到了集值函数。
此定理1941年由角谷静夫提出[1],曾被纳什用于描述纳什均衡[2]。之后,此定理在博弈论和经济学中得到了广泛应用[3]。
集值函数
集值函数是一个从映到的幂集的函数,使任意都为非空集。这类函数有时也被称为对应,即函数的每个输入都将返回多个输出。因此,每个定义域的元素都对应一个由一个或多个值域元素构成的子集。
闭图
一个集值函数有闭图,如果集合在积空间中是一个闭子集。即:给定任意序列和,并满足,则有。
不动点
令为一个集值函数。如果,则为一个不动点。
例如:函数满足所有角谷不动点定理的条件,并存在无穷多个不动点。
例如:一个函数
满足所有角谷不动点定理的条件,并存在唯一一个不动点。
例如:一个函数
在处不满足凸集定义,但满足其他角谷不动点定理的条件。这个函数没有不动点。
角谷不动点定理的证明对于定义在闭区间上的实数集值函数最为简单。假设。假设为在闭区间[0,1]上的集值函数,且满足角谷不动点定理的条件。
- 创建一个序列,使序列处于[0,1]的具有相邻点的子区间中,并向相反方向移动。
令为一个具有下列特点的序列:
1
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6
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闭集形成了一个由的子区间组成的序列。条件2使这些子区间的范围逐渐减小,而条件3-6让令子区间的边界向相反方向移动。
这样一个序列可以按如下方式构建:
令。令分别为上的任一点。
假设我们已经选取了序列的第k个元素为且满足以上6个条件。令:。一定有,因为是凸集。
如果存在并且有,我们可以选取:
否则,必定存在使得。我们选取:
根据吉洪诺夫定理,紧致集合的笛卡儿积也是紧致的。由于序列在这个集合里,所以根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理,这个序列一定存在收敛的子序列。假设这个收敛子序列的极限是。由于是闭合图,一定有:
由于条件2,有,所以:
有:,且 。
如果,则有。因为 ,所以x是的一个不动点。
如果,则构造一条p^*与q^*间的直线:
由于是凸集,所以由可以推导出。所以x是的一个不动点。
当S的维度大于1时,最简单的情况是n维单纯形。n维单纯形相当于一个高维的三角形。证明单纯形的角谷不动点定理与区间上的证明极其相似。复杂度仅在于证明的第一步:如何切割空间为子空间。
- 类似于一维的情况,我们使用重心细分方法将单纯形切割为子单纯形
- 为确保子单纯形序列的边界向相反方向运动,需要用到斯佩纳引理以保证子单纯形的存在。
对n维单纯形的证明可以用来证明任意紧致,凸型S情况下的角谷不动点定理。单纯形在这种情况下不再有直线的边界,而是有曲线边界。这会用到形变收缩。
角谷不动点定理可以泛化为无穷维度局部凸拓扑向量空间[5][6]。
上半连续性定义:
一个集值函数是上半连续的,如果对于任何开集,集合也是X上的开集[7]。
角谷映射定义:
令X,Y为拓扑向量空间,为集值函数。如果Y为凸,且对所有都是上半连续的,非空,紧致的凸集,则称为角谷映射。
角谷-格里科斯伯格-樊定理的叙述为:
令S为豪斯多夫局部凸拓扑向量空间的非空,紧致凸子集。令为角谷映射。则存在不动点。
对应的单值函数定理是吉洪诺夫不动点定理。
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