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谐振子

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一个无阻尼弹簧 - 质量体系统构成一个简谐振子。
一个无阻尼弹簧 - 质量体系统构成一个简谐振子。

经典力学中,一个谐振子(英语:harmonic oscillator)乃一个系统,当其从平衡位置位移,会感受到一个恢复正比于位移,并遵守胡克定律

其中是一个正值常数

如果是系统仅受的力,则系统称作简谐振子(简单和谐振子)。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦余弦振动,且振幅频率都是常数(频率跟振幅无关)。

若同时存在一摩擦力正比于速度,则会存在阻尼现象,称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形,振动频率小于无阻尼情形,且振幅随着时间减小。

若同时存在跟时间相关的外力,谐振子则称作是受驱振子

力学上的例子包括了单摆(限于小角度位移之近似)、连接到弹簧的质量体,以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子(electrical harmonic oscillator,参见RLC电路)。

简谐振子

简谐振子没有驱动力,也没有摩擦阻尼),所以合力单纯为:

利用牛顿第二定律

加速度等于是的二次微分导数:

若定义,则方程可以写为如下:

可以观察到:

然后代回原式得到

积分可得

其中K积分常数,设K = (A ω0)2

经过积分,结果(包括积分常数φ)为

并有一般解

其中振幅以及相位可透过初始条件来决定。

另外也可以将一般解写成

其中的值与前面形式相比,偏移了

又可以写作

其中为透过初始条件决定的常数,以替代前面形式的

振动频率则为

动能

.

以及势能(势能)为

所以系统总能为定值:

受驱谐振子

一受驱谐振子满足如下非齐次(nonhomogeneous)二阶线性微分方程

其中是驱动振幅而是驱动频率,针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC(电感L-电容C)电路以及理想化的弹簧系统(没有内部力学阻力或外部的空气阻力)。

阻尼谐振子

一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程

其中是由实验决定的阻尼常数,满足关系式。遵守此方程的系统,其中一例为置于水中的加权弹簧(weighted spring),若假设水所施的阻尼力与速度呈线性比例关系。

阻尼谐振子的频率为

其中

受驱阻尼振子

受驱阻尼振子满足方程

其一般解为两个解的和,一为暂态解(无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解),与初始条件相关;另一为稳态解(非齐次常微分方程之特殊解),与初始条件无关,只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。

稳态解为

其中

为阻抗(impedance)或线性响应函数(linear response function)之绝对值

为相对于驱动力(相位定为0)的振动相位

可以观察到,当在某特定驱动频率时,振子振动之振幅(相对于一给定之)达到最大。这发生在频率为

之时,而此现象称之为(位移上的)共振

总结来说,在稳态时,振动频率等同于驱动力的频率,但振动与驱动力在相位上有偏移;且振幅大小与驱动频率相关,当驱动频率与振动系统偏好(共振)频率相同时,振幅达到最大。

例子:RLC电路电阻类比于阻尼

完整数学描述

多数谐振子,至少近似上地说,是在解以下的微分方程:

其中t是时间,b是阻尼常数,ωo本征角频率,而Aocos(ωt)代表驱动系统的某种事物,其振幅Ao而角频率ω。x是进行振荡的被测量量;可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关,关系式为

重要项

  • 振幅:偏离平衡点的最大的位移量。
  • 周期:系统完成一个振荡循环所需的时间,为频率的倒数。
  • 频率:单位时间内系统执行的循环总数量(通常以赫兹 = 1/秒为量度)。
  • 角频率
  • 相位:系统完成了循环的多少(开始时,系统的相位为零;完成了循环的一半时,系统的相位为)。
  • 初始条件t = 0时系统的状态。
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