诺特环 - Wikiwand
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诺特环

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诺特环抽象代数中一类满足升链条件希尔伯特首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的,随后埃米·诺特从中提炼出升链条件,诺特环由此命名。

定义

一个环称作诺特环,当且仅当对每个由理想构成的升链,必存在,使得对所有的都有(换言之,此升链将会固定)。

另外一种等价的定义是:的每个理想都是有限生成的。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想,可以类似地定义左诺特环右诺特环是左(右)诺特环当且仅当在自己的左乘法下形成一个左(右)诺特模。对于交换环则无须分别左右。

基本性质

  • 是诺特环,则其直积亦然。
  • 是诺特环,是任一理想,则其商环亦然。
  • 是诺特环,则其上的多项式幂级数都是诺特环。
  • 是交换诺特环,则其对任一积性子集局部化也是诺特环。
  • 是交换环,为一有限生成理想,且是诺特环,则其完备化也是诺特环。
  • 一个左(右)阿廷环必定是左(右)诺特环。

例子

  • 整数环是诺特环。
  • 对任意的,多项式环及其商是诺特环。这是代数几何中最常见的情形。

以下是非诺特环的例子:

  • 考虑有可数个变元的多项式环,并考虑升链,此升链不会固定。
  • 考虑上的全体连续函数,它们在逐点作乘法下构成一个环。考虑升链,此升链不会固定。

参见条目

文献

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
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