贝蒂数 - Wikiwand
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贝蒂数

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代数拓扑学中,拓扑空间贝蒂数 是一族重要的不变量,取值为非负整数或无穷大。直观地看,连通分支之个数, 是沿着闭曲线剪开空间而保持连通的最大剪裁次数。更高次的 可藉同调群定义。

“贝蒂数”一词首先由庞加莱使用,以意大利数学家恩里科·贝蒂命名。

定义

空间 的第 个贝蒂数( 为非负整数)定义为

上式的同调群可以任意为系数。

例子

  • 圆环 的贝蒂数依次为
  • 二维环面的贝蒂数依次为
  • 三维环面的贝蒂数依次为
  • 一般而言, 维环面的贝蒂数由二项式系数给出,此命题可透过下节叙述的性质证明。
  • 无穷维空间可以有无穷多个非零的贝蒂数,例如无穷维复射影空间 的贝蒂数依次为 (周期为二)。

性质

闭曲面的第一个贝蒂数描述了曲面上的“洞”数。环面;一般而言,闭曲面的 等于“洞”或“把手”个数之两倍。可定向紧闭曲面可由其 完全分类。

有限单纯复形CW复形的贝蒂数有限。当 大于复形维度时,

对于有限 CW 复形,定义其庞加莱多项式为贝蒂数的生成函数

对于任意 ,有

对于 -维可定向闭流形 ,庞加莱对偶定理给出贝蒂数的对称性

贝蒂数与微分形式

微分几何微分拓扑中,所论的空间 通常是闭流形,此时拓扑不变量 可以由源自流形微分结构的微分形式计算。具体言之,考虑复形

其中 次微分形式构成的向量空间,外微分。则

这是德拉姆上同调理论的简单推论。

德拉姆上同调的不便之处,在于它考虑的是微分形式的等价类,其间可差一个 之元素。设流形 具有黎曼度量,则可以定义微分形式的“长度”。我们若尝试以变分法在等价类中找最短元素,透过形式计算可知存在唯一最短元素 ,且为调和形式,在此拉普拉斯算子 依赖于流形的度量,在局部座标系下可表为椭圆偏微分算子。这套想法催生的霍奇理论在复几何中扮演关键角色。

文献

  • F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
  • J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).
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