费马大定理

费马大定理（亦名费马最后定理，法语：Le dernier théorème de Fermat，英语：Fermat's Last Theorem），其概要为：

当整数${\displaystyle n>2}$时，关于${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$的不定方程

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$

无正整数解。

关于以皮埃尔·德·费马命名的其他定理，请见“费马定理”。

以上陈述由17世纪法国数学家费马提出，被称为“费马猜想”，直到英国数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒于1995年将他们的证明出版后，才称为“费马最后定理”。这个猜想最初出现费马的《页边笔记》中。尽管费马表明他已找到一个精妙的证明而页边没有足够的空位写下，但仍然经过数学家们三个多世纪的努力，猜想才变成定理。在冲击这个数论世纪难题的过程中，无论是不完全的还是最后完整的证明，都给数学界带来很大的影响；很多的数学结果、甚至数学分支在这个过程中诞生，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗瓦理论和赫克代数等。这也令人怀疑当初费马是否真的找到正确证明。而安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得包括邵逸夫奖在内的数十个奖项。

历史

丢番图拉丁文译本第11卷第8命题

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

“

将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下[注 1]。

”

毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富数论的内容，推动数论的发展。

欧拉在1770年的时候，证明n=3时定理成立。^[1]

1825年，高斯和热尔曼同时独立证明费马定理5次幂。

费马大定理提出之后的二百年内，对很多不同的特定的${\displaystyle n}$，费马大定理被证明。但对于一般情况，人们仍一筹莫展。

1908年，德国人“保罗·弗里德里希·沃尔夫斯凯尔（英语：Paul Wolfskehl）”宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该奖金的吸引力也大幅下降。

1983年，格尔德·法尔廷斯证明莫德尔猜想。作为推论，对于给定的整数${\displaystyle n>2}$，至多存在有限组互素的${\displaystyle a,b,c}$使得${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$。

1986年，格哈德·弗赖（Gerhard Frey）提出“ε-猜想”：若存在${\displaystyle a,b,c}$使得${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线

${\displaystyle y^{2}=x\left(x-a^{n}\right)\left(x+b^{n}\right)}$

会是谷山-志村猜想的一个反例。格哈德·弗赖的猜想随即被肯尼斯·阿兰·黎贝证实。此猜想显示费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。

1995年，安德鲁·怀尔斯和理查·泰勒在一特例范围内证明谷山志村猜想，弗赖的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明费马大定理。

怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用七年时间，在不为人知的情况下，得出证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审查证明的过程中，专家发现一个极为严重的错误。怀尔斯和泰勒之后用近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部分的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的《数学年刊》（Annals of Mathematics）之上。

在怀尔斯证明之前，沃尔夫斯凯尔委员会（Wolfskehl committee）收到数千个不正确的证明，所有纸张叠加达到约10英尺（3米）的高度^{[2]（p. 295）}。仅在第一年（1907—1908年）就提出621个证明，但到了20世纪70年代，各家证明方法的提出已经降至每个月大约3-4个。根据沃尔夫斯凯尔委员会评论家施里希廷（F. Schlichting）的说法，大多数证明都是基于学校教授的基本方法，并且提交证明的人大多“有技术教育但职业生涯失败”^{[2]（pp. 120–125、131–133、295–296）[3]}。用数学历史学家霍华德·伊夫斯（英语：Howard Eves）的话来说，“费马大定理在数学里有一个特殊的现象，即在于它是错误证明数量最多的数学题。”^[4]

参见

• 索菲热尔曼素数
• 维费里希素数
• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 数学猜想列表
• 费马-卡塔兰猜想

注释

1. 拉丁文原文：Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

参考资料

1. 用户1915054266. 怀尔斯用7年时间证明费马大定理，杀死一只会下金蛋的鹅. 快资讯. 2019-04-29 [2019-05-21]. （原始内容存档于2019-06-10） （中文（中国大陆））.
2. Singh 1997.
3. Aczel 1996，第70页.
4. Koshy T. Elementary number theory with applications. New York: Academic Press. 2001: 544. ISBN 978-0-12-421171-1.

书籍

• Singh, Simon. Fermat's enigma : the quest to solve the world's greatest mathematical problem. New York: Walker. 1997. ISBN 0-8027-1331-9.
• Aczel, Amir. Fermat's last theorem : unlocking the secret of an ancient mathematical problem. New York: Four Walls Eight Windows. 1996. ISBN 978-1-56858-077-7.

论文

• Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem (PDF). Annals of Mathematics 141. 1995: 443–551. （原始内容 (PDF)存档于2011-05-10）.
• R.Taylor; A.Wiles. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras. Annals of Mathematics 141. 1995: 553–572. （原始内容存档于2004-12-04）.
• Gerd Faltings. The Proof of Fermat's Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles (PDF). Notices of the AMS. 1995-07. （原始内容存档 (PDF)于2019-09-12）.
• Charles Daney. The Mathematics of Fermat's Last Theorem. （原始内容存档于2004-08-03）.
• J J O'Connor; E F Robertson. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2001-08-04）. The history of the problem.
• David Shay. Fermat's last theorem. （原始内容存档于2007-02-02）. The story and the history of the problem.

外部链接