赋值环 - Wikiwand
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赋值环

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抽象代数中,赋值环是一个里的一类特别子环,可由域上的某个赋值定义。离散赋值环是其中较容易操作的一类。

定义

赋值环是一个整环D,满足其分式域 F的任一非零元素x,至少有xx −1D. 一个 F 的子环 R 被称作赋值环,当且仅当对每个 ,必有 。R被称作其分式域 F赋值环或被称作在其分式域 F素点

R主理想域,此时 R 被称为离散赋值环

性质

  • ,则 是 F 中唯一的极大理想
  • 承上, 被称作 R 的剩余域

范例

  • 任何都是赋值环。
  • Z(p)是赋值环, ,整数环在素理想局部化,其中分子,分母是不能被p整除的任何整数组成,。分式域有理数Q
  • 复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数泰勒级数展开为零)环是一个赋值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。
  • 任何一个给定的素数p p进整数环Zp 是局部环(p进数的分式域Qp域),p进整数环Zp 代数闭域Zpcl也是一个局部环, ZpZpcl都是赋值环。

设k是一个有序的领域。 k的元素被称为有限的,如果它在于两个整数N <X <米;否则,它被称为无限。有限元素的K D是估值环。等元素x的x∈D和X-1∉D是无穷小元素的集合;一个元素x在X∉D和X-1∈D,被称为无限。 有限元的超现实领域·R环F是一个* R的估值环F由所有超现实的数字,从一个标准的真正的不同,由一个无限小的量,这相当于说超现实数x这样一些标准的整数n-N <X <N。渣场,有限的超现实数模无穷的超现实数字理想,是同构的实数。

  • 令 X 为一黎曼曲面,x 为其上一点。令 ,则 构成一赋值环。
  • 为域,则 中的赋值环。
  • 中的赋值环。
  • 为一有序交换群 为域, 为一赋值,则 为一赋值环,此时被称作其值群。可以证明所有的赋值环都由此而来。

文献

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.
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