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素数幂

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素数幂数学名词,是指单一素数乘积组成的自然数

例如:7 = 719 = 3232 = 25都是素数幂,而6 = 2 × 312 = 22 × 336 = 62 = 22 × 3240 = 23 × 5不是,因为它们有两个或超过两个素因数。(数字1一般不算是素数)。

前几个素数幂如下: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, 256, ... (OEIS中的数列A246655)、(OEIS中的数列A000961)(有1的数列)

素数幂是只有一个素因数的整数。素数幂和类似的概念也称为准素(primary numbers),例如准素分解

性质

代数性质

素数幂是素数的自乘积。每一个素数幂(2的幂次除外)都有一个原根,因此整数模的整数模n乘法群pn循环群

有限域元素的总数一定是素数幂,相对的,素数幂一定是某一个有限域元素的个数(顶多有同构的差异)。

组合性质

素数幂的一个特性常用在解析数论中:素数幂的集合中不是素数的元素是small set英语small set (combinatorics),因为其倒数的无限级数和收敛,而素数则是large set。

可除性

素数幂的欧拉函数φ)及除数函数σ0)和σ1可以用下式计算:

其他

所有的素数幂都是次方数素数除外),素数幂不可能是楔形数佩服数

2的幂的数都是殆完全数

所有的素数幂都是亏数。素数幂pnn殆素数。还不确定素数幂是否可以是相亲数,若有这样的数,pn一定大于101500,且n一定大于1400。

流行媒体

在1997的电影《异次元杀阵》中,素数幂是其中重要的一部分,在像迷宫一样的立方体结构中,素数幂是致命危险的指标。

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参考资料

  • Elementary Number Theory. Jones, Gareth A. and Jones, J. Mary. Springer-Verlag London Limited. 1998.
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