辛钦常数

在数论领域中，苏联数学家亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）证明对于几乎所有实数x，其连分数表示式的系数a_i的几何平均数之极限存在，且与x数值无关，此数值称为辛钦常数（英语：Khinchin's constant）。

以下是x的连分数表示式

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$

针对任意实数x，以下的等式几乎总是为真

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=K_{0}}$

其中 ${\displaystyle K_{0}}$为辛钦常数

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}\approx 2.6854520010\dots }$ （OEIS数列A002210）.

不符合上述条件的实数包括了有理数、实系数二次方程的解（包括黄金比例 ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$），以及自然对数的底e。目前辛钦常数是否为无理数或代数数仍犹未可知。虽然几乎所有实数之连分数系数的几何平均都趋近于辛钦常数，但除了特意建构的实数外，并没有实数被严格证明有此性质，仅有一些数值上的证据，像是圆周率及欧拉-马歇罗尼常数。

开放问题

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(\pi _{1}\pi _{2}...\pi _{n})^{1/n}}$似乎会趋近辛钦常数

• 根据数值上的证据^[1][2]，圆周率π、欧拉-马斯刻若尼常数γ、以及辛钦常数本身的连分数系数a_i的几何平均数会趋近辛钦常数，不过这还没有严谨的证明。
• 目前还不知道辛钦常数是有理数、代数数、无理数或超越数^[3]。

相关条目

• 李维常数
• 洛克斯定理（英语：Lochs's theorem）

参考资料

• David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall. On the Khinchine constant (PDF). 1995. （原始内容 (PDF)存档于2005-05-28）.
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall. Computational Strategies for the Riemann Zeta Function (PDF). J. Comp. App. Math. 2000, 121: p.11 [2012-11-08]. （原始内容 (PDF)存档于2006-09-25）. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Aleksandr Ya. Khinchin. Continued Fractions. New York: Dover Publications. 1997.
• Ryll-Nardzewski, Czesław, On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions), Studia Mathematica, 1951, 12: 74–79

外部链接

• 110,000 digits of Khinchin's constant
• 10,000 digits of Khinchin's constant

1. Weisstein, Eric W. Euler-Mascheroni Constant Continued Fraction. mathworld.wolfram.com. [2020-03-23]. （原始内容存档于2024-01-13） （英语）.
2. Weisstein, Eric W. Pi Continued Fraction. mathworld.wolfram.com. [2020-03-23]. （原始内容存档于2023-11-06） （英语）.
3. 埃里克·韦斯坦因. Khinchin's constant. MathWorld.