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逆元素

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数学中,逆元素(英语:Inverse element)推广了加法中的加法逆元乘法中的倒数。直观地说,它是一个可以取消另一给定元素运算的元素。

定义

S为一有二元运算 * 的集合。若e为(S,*)的单位元a*b=e,则a称为b左逆元素b称为a右逆元素。若一元素x同时是y的左逆元素和右逆元素时,x称为y两面逆元素或简称为逆元素S内的一有两面逆元素的元素被称为在S内为可逆的

正如(S,*)可以有数个左单位元或右单位元一般,一元素同时有数个左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有数个左逆元素右逆元素。

若其运算 * 具有结合律,则当一元素有一左逆元素和一右逆元素时,这两个会是相同且唯一的。在这一情形之下,可逆元的集合会是个,称为S可逆元群,且标记为U(S)或

例子

每一实数x都会有一加法逆元(即加法上的逆元素)-x。每一非零实数x都会有一倒数(即乘法上的逆元素)。此外,零没有倒数。

一元素在一K内的方阵M为可逆的(在所有相同大小方阵的集合内,于矩阵乘法下)当且仅当行列式不等于零。若M的行列式为零,它便不可能会有一单面逆元素,因此一单面逆元素必为两面逆元素。更多详情请参见逆矩阵

更一般地,一元素在一可交换环R内的方阵是可逆的当且仅当其行列式在R是可逆的。

一函数g是一函数f的左(右)逆元素(在复合函数之下),当且仅当当)为f定义域陪域)上的恒等函数。在这一例子里,一函数有右逆元素而无左逆元素,或许相反,是很常见的。

另见

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