逆矩阵 - Wikiwand
For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for 逆矩阵.

逆矩阵

维基百科,自由的百科全书

线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix))} 向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵 向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积 · 内积 · 数量积 · 向量积 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 (LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解) · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化 · 查论编

逆矩阵(inverse matrix),又称反矩阵。在线性代数中,给定一个n方阵,若存在一n 阶方阵,使得,其中n单位矩阵,则称可逆的,且逆矩阵,记作

只有方阵(n×n 的矩阵)才可能有逆矩阵。若方阵的逆矩阵存在,则称非奇异方阵或可逆方阵。

行列式类似,逆矩阵一般用于求解联立方程组。

求法

伴随矩阵法

如果矩阵可逆,则其中伴随矩阵

注意:中元素的排列特点是的第元素是的第元素的代数余子式。要求得即为求解余因子矩阵转置矩阵

初等变换法

如果矩阵互逆,则。由条件以及矩阵乘法的定义可知,矩阵都是方阵。再由条件以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是方阵,且rank(A) = rank(B) = n.换而言之, 均为满矩阵)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。

因为对矩阵施以初等行变换(初等列变换)就相当于在的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵被变为时,就被变为的逆阵

性质

  1. 为A的转置
  2. (det为行列式

广义逆阵

广义逆阵(Generalized inverse)又称伪逆,是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔-彭若斯广义逆,它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
逆矩阵
Listen to this article