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速率

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速率
汽车行驶一段路程除以所需时间为它的平均速率。
常见符号
v
国际单位 m/s, m s−1
因次

速率(英语:Speed)是物理学中的一个基本概念,是指物体在单位时间内经过的路程,用来表示物体运动的快慢程度。

在日常生活中,“速率”和“速度”混用,但两者在物理学中对应着不同的概念:速率是一个标量(只有大小、没有方向),它的量纲是路程除以时间;速度是一个矢量(有方向),它的量纲是位移除以时间[1]。物体的瞬时速率等于瞬时速度的大小,而平均速率则不一定等于平均速度的大小。

国际单位制中,速率的单位为米每秒(m/s),但日常生活中较常用的单位是千米每小时(km/h)或是英制系统下的英里每小时(mph)。海上船只或物体的行进速率,一般会使用作为单位。

依照狭义相对论,能量或信息所能传递的最快速率为真空中的光速c = 299,792,458 米每秒,大约是1,080,000,000千米每小时或671,000,000英里每小时。静止质量不为零的物质要加速到此速率,需要无限大的能量。在相对论物理学中,会用快度来取代经典力学中的速度[2]

定义

用数学语言来描述,如果一个物体在一段时间内移动的路程为,那么它的平均速率(用表示)便是的比,具体可由下式给出:

例如,一辆汽车在2小时内行驶了60公里,它在这段时间内的平均速率是30公里每小时。而一个物体在某个时刻的速率,则是它在这个时刻前后的一段极短时间中经过的路程与这段时间长度的比:

精确地说,假设路程是一个关于时间的函数,那么物体在某个时刻瞬时速率,是以上比值在趋向于0时的极限值。或者说,是时刻对时间的导数

在某些简化的物理模型中,物体在某个时刻之前的速率可能不等于其之后的速率

比如简单的碰撞模型中的碰撞前速率和碰撞后速率。但在经典物理学中,总假设物体的路程,以及瞬时速度和瞬时速率都是连续变化的。简化模型中出现不连续的速率是忽略了极短时间内速率变化的结果。

物体的瞬时速率等于其瞬时速度的大小。然而,物体的平均速率一般不等于其平均速度的大小[3]。盖因路程和位移的概念不同。例如一个物体做匀速圆周运动一周,则其平均速率为一个不为零的定值,但其平均速度是0。

例子

瞬时速率

车辆上的速度表可以显示任何时刻的瞬时速率[4]p.42。瞬时速率可能会随时间而变动,一辆车在某个时刻的瞬时速率50公里/小时,但它维持此速率的时间可以是一秒、一分钟或一小时。不过假若此车连续一小时以50公里/小时的(瞬时)速率行驶,则它所走路程为50公里。

平均速率

如果一辆车在一小时内行驶了80公里,则它在这一个小时中的平均速率为80公里/小时;若一辆车在第一个小时内行驶了140公里,在接下来的三个小时中行驶了180公里,则它在这四小时内的平均速率也是80公里/小时。但若分别考虑此车第一个小时以及其后三个小时内的平均速率,其数值就不是80公里/小时了。

平均速率可能会和过程中的瞬时速率有相当的差异[4]p.42。若已知平均速率和时间,可以求得这段时间所走的路程:

依上述公式可得,若一辆车行驶了四小时,这四小时的平均速率为80公里/小时,则它在四个小时中行驶的总路程为320公里。

若以图像的方式,可以利用路程-时间图来显示速率。路程-时间图上的曲线表示了物体移动的路程是如何随时间变化的。曲线上任意一点对应着一个时刻和物体在这一时刻移动的路程。曲线在一点上切线斜率即为此时刻的瞬时速率,而曲线上两点的割线斜率即为对应的二个时刻之间的平均速率。

切线速率

物体在单位时间内经历的路程,是为速率或线速率,而如果物体在做圆周运动,那么它的速率也称为切线速率[4]p.131,因为它运动的方向是沿着圆周的切线方向。旋转木马转一圈时,位置靠外的木马走过的路程比位置靠内的木马要多。这说明位置靠外的木马平均速率比位置靠内的木马要大。 对于圆周运动的物体而言,切线速率及线速率二者可互换使用,二者的单位均为m/s或km/h。

转速或角速率是指单位时间内转的圈数。旋转木马中,不同位置的木马切线速率可能不同,但所有木马在相同时间内都旋转了相同的圈数,因此其角速率均相同。转速一般以每分钟转速或是以单位时间的弧度作为单位。旋转一圈的弧度略大于6个弧度(精确值为弧度)。若将角速率加上方向,则成为角速度,前者为一标量,后者则为一矢量。若两片CD每秒都旋转20圈,一片顺时针旋转,另一片逆时针旋转,那么二者的角速率相同,但角速度不同。

圆周运动的物体(或距旋转轴固定距离的一点),其切线速率和转速成正比[4]p.131。不过切线速率和转速不同,一点的切线速率和距旋转轴的距离有关,距旋转轴不同距离的二点,其转速相等,但切线速率不相等。旋转轴上的点,其切线速率甚至为零。在一旋转的物体上,离旋转轴越远,会发现线速率越快。若转速固定,则切线速率和一点距旋转轴的距离成正比[4]p.132,因此可得下式:

其中

v为切线速率
ω为转速
r为距旋转轴的距离

因此只要转速变快或是距旋转轴的距离变长,都会使切线速度变快。

若切线速率、转速及距离选择适当的单位(例如切线速率单位选择m/s,转速单位选择弧度/s,距离单位选择m),上式的比例关系可以变成以下的等式:

因此,一个系统只要所有部分的角速度相同,其切线速度只和距旋转轴的距离有关。(上述切线速度和距离的比例关系不适用于行星的运转,因为行星在不同位置的角速度不同)

单位

速率的单位包括:

速率各单位间重要的换算关系包括:

常见速率单位之间的转换
m/s km/h mph ft/s
1 m/s = 1 3.6 2.236936 1.943844 3.280840
1 km/h = 0.277778 1 0.621371 0.539957 0.911344
1 mph = 0.44704 1.609344 1 0.868976 1.466667
1 节 = 0.514444 1.852 1.150779 1 1.687810
1 ft/s = 0.3048 1.09728 0.681818 0.592484 1

粗体字的数值是精确值)

不同速率的例子

速率 m/s ft/s km/h mph 注解
大陆飘移的平均速率 0.00000001 0.00000003 0.00000004 0.00000002 4厘米/年,速率依位置而异
普通蜗牛的速率 0.001 0.003 0.004 0.002 1毫米每秒
轻快地步行 1.7 5.5 6 4
奥林匹克短跑选手(100米内的平均速率) 10 32.8 36 22
大部分郊区道路的速限 13.8 45.3 50 30
台北101观光电梯 16.7 54.8 60.6 37.6 1,010 m/min[5]
香港巴士的最高运行速率 20 65.6 72 44.7
一般乡间道路的速限 24.6 80.66 88.5 56
萨菲尔-辛普森飓风等级的一级飓风 33 108 119 74 一分钟平均风速需大于此数值
法国高速公路限速 36.1 118 130[6] 81
人力驱动的最快速度 37.02 121.5 133.2 82.8 加拿大自行车手Sam Whittingham利用斜躺脚踏车英语recumbent bicycle创下的记录[7]
漆弹枪的枪口初速 90 295 320 200
波音747-8巡航速率 255 836 917 570 0.85马赫
陆上速度记录 341.1 1119.1 1227.98 763 超音速推进号在1997年10月15日创下[8]
在海平面大气压、20°C(293开尔文)的干燥空气中的声速 343 1,125 1,235 768 由定义=1马赫
AK-47突击步枪枪口初速 710 2,330 2,600 1600
正式的飞行速度记录 980 3,215 3,530 2,194 SR-71黑鸟式侦察机在1976年7月28日创下[9]
航天飞机返回地球时的速率 7,800 25,600 28,000 17,500
相对于地球的逃逸速度 11,200 36,700 40,000 25,000 地表的逃逸速度为11.2 km/s[10]
地球的平均公转速率 29,783 97,713 107,218 66,623
真空中的光速(符号c 299,792,458 983,571,056 1,079,252,848 670,616,629

参见

参考资料

  1. ^ 速度、速率及加速度. 台湾师范大学物理系. [2013-10-12]. 
  2. ^ Rapidity and invariant cross sections - Phenix - Brookhaven National (PDF). [2013-10-12]. 
  3. ^ 平均速度. 台湾长庚大学. 2005-07-28 [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-10-15). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Paul G. Hewitt. Conceptual Physics. Pearson Addison Wesley. 2006. ISBN 0805393757.  已忽略文本“ suck my dick ” (帮助)
  5. ^ 中国电梯行业大事简记. 上海勒邦电梯. 2009-05-19 [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-10-14). 
  6. ^ 法国开车初体验. 旭途旅游. [2013-10-12]. 
  7. ^ The Recumbent Bicycle and Human Powered Vehicle Information Center. Wisil.recumbents.com. [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-08-11). 
  8. ^ Thrust SSC Run database 
  9. ^ 大陆新闻中心. 军武/“黑鸟”如影随形 比子弹还快的飞机报你知. 明日报 (今日传媒公司). 2013-02-02 [2013-10-12]. 
  10. ^ 宇宙航行. Rc.k12.com.cn. [2013-10-12]. 

外部链接

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